20201006 单峰,积木,同余

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考场

今天的题面比昨天正常多了...

T1手玩了 \(n\le3\) 的情况，发现答案似乎是 \(2^{n-1}\)，暴力打表验证后一遍码过，大约用了1h。（但大部分人都只用了30～40min）

T2感觉是DFS+剪枝，40min打完暴力开始寻找优化，尝试将每个积木的棱长排序后按积木最短的棱长排序，这样DFS时就只需考虑两条棱，但很快就拍出了问题：

2  
3875 1802 15404   
29169 3603 2698   

当时并没有立即意识到，手玩了好久才发现问题，一激动把给每个积木棱长排序的部分也删了，剩1h写T3，最后交了裸暴力。

T3\(O(mn^2)\) 的暴力显然，但并没有给 \(n\) 的数据规模。短暂思考发现 \(a_i\le1\) 即 \(a_i\in\{0,1\}\) ，前缀和维护 \(0,1\) 的个数，\(0\) 特判。没有对拍，针对数据规模合并两个程序就交了（当时不知道没有给 \(O(mn^2)\) 部分分）。

T1

期望

\(O(1)\)
100pts

实际

20pts

题目说 \(n\le10^{18}\)，但我直接 1<<(n-1)，于是只拿了暴力分。（全场就我一个挂掉的）

题解

峰顶一定是 n，因此考虑 1 ∼ n-1 分别放在 n 的左边还是右边，一一得出相应的唯一方案。所以答案就是 \(2^(n-1)\)。

T2

期望

\(O(15!\times3^{15})\) （貌似是）
40pts

实际

60pts

数据过水，暴力可以拿40pts~80pts，只要将每个积木的棱长排序就剪掉了一半的枝，可以卡过去了。

正解

显然是状态压缩 DP。设计状态 f[S][i][0/1/2] 表示已经⽤了集合 S 内的积木，最顶上是编号为 i 的积木，它的哪个面朝上。转移时枚举不在 S 内的积木，以及朝上的面判断即可。时间 复杂度 O(2n · (3n) 2 )

考场上根本没往状压DP上想...
果然还是太弱了

T3

期望

\(O(n+m)\)
20pts

实际

10pts（莫名T掉了第2个点）

题解

观察到，其实要求的是某一范围内 kp + q 的个数，当 p 较小时，k 的取值范围很小。不妨 设“较小”的界限是 > K。 考虑将问题拆开来并排序，这样每个问题就变成了询问 1 ∼ r 中有多少个 kp + q。维护一 个哈希数组，h[i] 表示 i 有多少个；以及一个模数数组 g[i][j]，表示模 i 为 j 有多少个。 每次指针向右移，直到移动到当前询问的位置，每移一次就将这个数分别在两个数组内标 记，复杂度总体是 O (nK)。 每次询问时，对于较小的 p 直接在 g 中查询，对于较大的 p 枚举 k 并在 h 中查询，复杂度是 O(m ai/K )。 可以看出 K = √ ai = 100 时最优。

实际上只用h数组即可。

总结

• Python!!!
• T1一看就是数学题，但我对自己推式子的十分自信，直接打了暴力。。。以后还是要打暴力
• DFS剪枝前要手模数据。把似乎能用的版本存一份。删代码要想清楚具体哪里出问题。
• T3的前缀和做法可以推广到 \(60%\) 的部分分，但没仔细想，反而浪费了大量时间在T2。应该先把T3的暴力打了，最后再考虑优化T2。

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