离散傅里叶变换及其性质
2021/5/14 18:25:34
本文主要是介绍离散傅里叶变换及其性质,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!
1 一维与二维离散傅里叶变换
以周期 对函数 f(t) 采样可表示为
,
对采样函数进行傅里叶变换得 ,
整理得 。
由于对函数 f(t) 的采样周期为 ,采样函数的傅里叶变换的一个完整周期为
,
同样的, 也是采样函数的傅里叶变换的一个完整周期,只是这个周期不是以原点对称的。
在 区间中取 M 个点,则第 m 个点的频率为
,
带入公式得 ,
其中, 为连续函数 f(t) 对应的 M 个离散值,
为取样函数
的傅里叶变换对应的 M 个离散值,
整理公式得 (由于函数仅在 [0,M-1] 上有非零值,故真实求和区间为 [0,M-1])。
因此,一维离散傅里叶变换对为 ,
。
类似的,二维离散傅里叶变换对为 ,
。
2 傅里叶变换的性质
1)傅里叶变换平移特性 ,
用指数项乘以 f(t) 使得傅里叶变换后原点移动到 处,
使用负指数乘以 使得反傅里叶变换后原点移动到
处,证明如下:
,
使用 替换
得
,
因此有 ,类似推导可得
。
将平移特性扩展到二维离散变量上有 。
2)离散傅里叶变换一定具有周期特性,因为离散傅里叶变换的频率取值在 区间内,有限频率导致必然具有周期性,
连续傅里叶变换频率取值为无穷大,所以连续傅里叶变换一般不具有周期性(但也有所有频率都一样的函数)。
离散傅里叶变换周期性可表示为 。
观察公式 或
,
发现频率取值在 之间,而一个完整的频率应该在
之间,如下图:
如果直接应用公式进行傅里叶变换,得到的频率为 [0,M-1]区间,这是两个半周期组成的一个周期。
在图像中则表现为低频信号分布在4个角落,这显然不便于观察频率信息。
结合傅里叶变换的平移特性,可以将原函数乘以一个正指数项,使得平移后傅里叶变换再 [0,M-1]区间正好是一个完整的周期。
将原函数平移 M/2 可以实现该目标,具体分析如下:
原函数平移 M/2 得 ,
由于 x 为非负整数,,
最终得到 。
对于二维离散变量有相似结论 。
未完。。。
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