BZOJ 2720: [Violet 5]列队春游

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概率和期望+组合数学

这个题有On，n2，n3的做法，这里主要说一下n的线性做法。
我和chy研究了无数题解才明白
根据期望的线性性，枚举每种可能的视野，把期望分解成 每种视野的视野长度×这种视野的概率
就是 $\sum_{i=1}^n i\times P(i) $
然后我们可以给他做一个转化，看这个图

上面的公式相当于每次加一列，我们发现一行也是有序的，所以我们把他转化成累加每一行
就是\(\sum_{i=1}^n P(L>=i)\)
这个式子的含义就是对于每个i，视野长度不小于i的概率之和，然后再求和
我们可以根据每个视野枚举，先预处理出比它小的视野数（就是身高严格小于他的人数）s,然后对于每个视野就有

解释一下，相当于至少有s-1个排在他前面，从n个里面选s-1个，剩下的（除了他自己）乱排，最后把它和他前面的比它小的看成一个整体往里面插，就是乘s，除以全排列就是视野长度不小于i的概率。
这个式子显然可以化简，最后对于每个i的贡献是\(ans(i)=\frac{n+1}{n-s+1}\),过程不说了，根据排列组合公式展开上下消就行。
代码不长，重在理解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int h[305];double d[305];
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 scanf("%d",&h[i]);
	sort(h+1,h+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(h[i]==h[i-1])d[i]=d[i-1];
		else d[i]=i-1;
	}
	double ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 ans+=(n+1)/(n-d[i]+1);
	printf("%.2lf",ans);
	return 0;
}

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