1020 逆序排列

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算法分析

设 \(f(n, k)\) 表示 \(n\) 个数的排列中逆序数为 \(k\) 的排列数。

最大的数 \(n\) 可能排在第 \(n - i\) 位，从而产生 \(i\) 个与 \(n\) 有关的逆序对，去掉 \(n\) 之后，剩下的 \(n - 1\) 个数的排列中有 \(k - i\) 个逆序对。

所以，\(\displaystyle f(n, k) = \sum_{i = 0}^{n - 1} f(n - 1, k - i)\)

同理有 \(\displaystyle f(n, k - 1) = \sum_{i = 0}^{n - 1} f(n - 1, k - 1 - i)\)

两式相减，可得 \(f(n, k) - f(n, k - 1) = f(n - 1, k) - f(n - 1, k - n)\)

递推公式为

\(f(n, k) = f(n, k - 1) + f(n - 1, k) - f(n - 1, k - n)\)

然后动态规划可得。

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>

using std::cin;
using std::cout;
using std::min;
using ll = long long;

const int N = 1010, K = 20010;
const int mod = 1e9 + 7;

int f[N][K];

void init() {
	for (int i = 1; i < N; ++i) f[i][0] = 1;
	for (int i = 2; i < N; ++i) {
		int x = i * (i - 1) / 2;
		for (int j = 1; j < min(x + 1, K); ++j) {
			f[i][j] = (1ll * f[i][j - 1] + f[i - 1][j]) % mod;
			if (j >= i) f[i][j] = (f[i][j] - f[i - 1][j - i] + mod) % mod;  
		}
	}
}

int main() {
        std::ios::sync_with_stdio(false);
        cin.tie(nullptr);
    
	init();
	
	int t;
	cin >> t;
	
	while (t--) {
		int n, k;
		cin >> n >> k;
		cout << f[n][k] << '\n';
	}
	
	return 0;
}

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