控制论个人学习笔记-线性系统的校正方法&现代控制论基础

本文主要是介绍控制论个人学习笔记-线性系统的校正方法&现代控制论基础，对大家解决编程问题具有一定的参考价值，需要的程序猿们随着小编来一起学习吧！

note 2020-08-05搬运 下面的内容来自(我的CSDN博客)[https://blog.csdn.net/weixin_45183579/article/details/105201314]

• 线性系统的校正方法
  • 引言
  • 系统校正装置的分析法设计
  • 系统校正装置的综合法设计
  • 复合控制校正
• 第7章 现代控制理论基础
  • 7.1状态空间法的基本概念
  • 7.2线性定常系统状态空间方程(下面简称SSE)的建立
  • 7.3线性定常系统的运动分析
  • 7.4线性系统的能控性和能观测性
  • 7.5线性系统的状态反馈与极点配置
  • 7.6状态观测器

线性系统的校正方法

引言

• 系统的性能指标

  在控制系统设计中，如果性能指标以频域特征量给出时，一般采用频率法校正；

  如果性能指标以时域特征量给出时，一般采用根轨迹法校正。这两种指标之间，存在着互换关系。

• 校正方式

  • 串联校正

  • 反馈校正

  • 复合控制校正

• 系统校正装置的设计方法

  • 试探法

  • 期望特性法

• 校正装置

  1. 校正装置的控制规律
  • P控制规律：比例元件在信号变换时，只改变信号的幅值而不影响其相位。因此在串联校正中，采用比例校正元件可以提高系统的开环增益，减小稳态误差，但会降低稳定性，因此在系统校正设计中很少单独使用。

    • PD控制规律：理想传函为\(K(1+\tau s)\) 。在串联校正时，可使系统增加一个\(-\frac{1}{\tau}\)的开环零点，提高系统的相角裕度，并有助于动态性能的改善。

    • I控制规律：积分控制可以提高系统的型别(无差度)，有利于稳态性能的提高。但积分控制使系统增加了一个位于原点的极点，于系统的稳定性不利。

    • PI控制规律：传函为\(K(1+\frac{1}{Ts})=K\frac{1+Ts}{Ts}\)。进行串联校正时，相当于在系统中增加了一个开环极点和开环零点。位于原点的极点可提高系统的稳态性能，而增加的零点则可缓和极点对系统稳定性产生的不利影响。只要\(T\)足够大，PI控制对系统的不利影响可大为减弱。

    • PID控制规律：传函为\(K(1+\tau s+\frac{1}{Ts})=\frac{K}{T}\frac{(T\tau s^2+Ts+1)}{s}\) 。在工业控制系统中，广泛使用PID调节器。PID各部分参数的选择，在系统现场调试中最后确定，应使 I 部分发生在系统低频段，以提高系统稳态性能，而使D部分在中、高频段起作用，来改善系统的动态性能。

  2. 无源和有源校正装置

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系统校正装置的分析法设计

• 频率响应法校正设计 (！！重点！！)

  1. 串联校正方式的频率法

     • 串联超前校正：适用于系统响应慢，相对稳定性差，但增益不太低的系统。可以提供超前角以增加相位裕度，或消去对象最接近原点的实极点以提高响应速度。

       校正环节的传函 $$a\frac{1+aTs}{1+Ts},(a>1)$$

       设计步骤如下：

       1. 根据稳态误差要求，确定开环增益K；

       2. 利用已确定的开环增益，计算待校正系统的相角裕度；

       3. 根据截止频率\(\omega_c^{''}\)的要求，计算超前网络参数\(a\)和\(T\)，选择最大超前角频率等于要求的系统截止频率，由\(-L^{'}(\omega_c^{''}=10lg(a)\)确定\(a\)，然后由\(T=\frac{1}{\omega_m\sqrt{a}}\)确定\(T\)值；

       4. 验算已校正系统的相角裕度\(\gamma^{''}，\gamma^{''}(\omega_c^{''})=\varphi_m+\gamma(\omega^{''})\)，当验算结果\(\gamma^{''}\)不满足指标要求时，需重选\(\omega_m\)值，一般使\(\omega_m\)（等于\(\omega_c^{''}\)）值增大，然后重复以上计算步骤

     • 串联滞后校正：适用于稳态误差大，但响应不慢的系统。

       校正环节的传函 \(\frac{1+bTs}{1+Ts},(b<1)\)

       设计步骤如下：

       1. 根据稳态误差要求，确定开环增益\(K\);

       2. 利用已确定的开环增益，画出待校正系统的对数频率特性，确定待校正系统的截止频率\(\omega_c^{'}\)、相角裕度\(\gamma\)和幅值裕度\(h(dB)\);

       3. 选择不同的\(\omega_c^{''}\)，计算或查出不同的\(\gamma\)值，在bode plot上绘制\(\gamma(\omega_c{''})\)

       4. 根据相角裕度\(\gamma^{''}\)的要求，选择已校正系统的截止频率\(\omega_c^{''}\)，\(\omega_c^{''}\)满足

       \[\gamma^{''}(\omega_c^{''})=\varphi_c(\omega_c^{''})+\gamma(\omega_c^{''})$$,一般取**$\varphi_c(\omega_c^{''})=-6°\sim14°$**； 5. 根据关系式 $20lg(b)+L^{'}(\omega_c^{''})=0,\frac{1}{bT}=(0.1\sim0.25)\omega_c^{''}$ 确定校正网络参数$b$和$T$; 6. 检查校正后系统的各项指标是否符合要求。 \]

     • 串联滞后-超前校正：兼有上面两种校正的优点，即已校正系统响应速度较快，超调量较小，抑制高频噪声的性能也比较好。当待校正系统不稳定，且要求校正后系统的响应速度、相角裕度和稳态精度较高时，采用这种校正。

       校正环节的传函 \(\frac{(1+T_1s)(1+T_2s)}{(1+aT_1s)(1+\frac{T_2}{a}s)}\) \((a>1)\)

       设计步骤如下：

       1. 根据稳态误差要求，确定开环增益K；

       2. 绘制待校正系统的对数幅频特性，求出待校正系统的截止频率\(\omega_c^{'}\)、相角裕度\(\gamma\)和幅值裕度\(h(dB)\);

       3. 在待校正系统对数幅频特性上，选择频率从\(-20dB/dec\)变为\(-40dB/dec\)的交接频率作为校正网络超前部分的交接频率\(\omega_b\);

       4. 根据响应速度的要求，选择系统的截止频率\(\omega_c^{''}\),并由式

       \[-20lg(a)+L{'(\omega_c{''})+20T_b\omega_c^{''}}=0 \]

       确定\(a\);

       5. 根据相角裕度要求，估算校正网络滞后部分的交接频率\(\omega_n\)；
       6. 校验已校正系统的各项性能指标

  2. 反馈校正方式的频率法：基本原理是，用反馈校正装置包围待校正系统中对动态性能改善有重大妨碍作用的某些环节，形成一个局部反馈回路(内回路)，在局部反馈回路的开环幅值远大于1的条件下，局部反馈回路的特性主要取决于反馈校正装置，而与被包围部分无关。

     特点如下：削弱非线性特性的影响；减小系统的时间常数；降低系统对参数变化的敏感度。

• 根轨迹法校正设计

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系统校正装置的综合法设计

• 串联校正方式的综合法设计

• 反馈校正方式的综合法设计

• 工程设计方法

复合控制校正

串联和反馈校正方式，一般只适用于反馈系统的校正。如果系统存在强扰动，特别是低频强扰动，或者系统的稳态精度和动态性能要求都很高，则宜使用复合控制校正。在高精度的控制系统如人造卫星控制系统中，复合控制校正得到了广泛应用。

• 按扰动补偿的复合控制校正

• 按输入补偿的复合控制校正

下面是王卫江《自动控制原理（第2版）》中的目录

第7章 现代控制理论基础

7.1状态空间法的基本概念

\(\hat{x}=Ax+Bu\)

\(y=Cx+Du\)

A:n×n,系统矩阵

B:n×r,系统输入矩阵

C:m×n,系统输出矩阵

D:m×r，前馈矩阵

7.2线性定常系统状态空间方程(下面简称SSE)的建立

• 根据系统工作原理建立SSE

• 根据微分方程建立SSE

• 根据传递函数建立SSE

• 由SSE求传函

  微分方程，传递函数，SSE之间可以做相互转化（只考虑标准型的话有现成的公式）

• 线性系统的代数等价性

  代数等价：给定一定常线性系统\(\Sigma(A\ B\ C\ D)\)，如果存在一非奇异线性变换\(\bar{x}=Px\)，其中\(P\)是非奇异矩阵，则\(x=P^{-1}\bar{x}\)经过状态变换后，系统可以写成
  \(\dot{\bar{x}}=P\dot{x}=P(Ax+Bu)=PAP^{-1}\bar{x}+PBu\)
  \(y=Cx+Du=CP^{-1}\bar{x}+Du\)
  其中，\(A=PAP^{-1};B=PB;C=CP^{-1};D=D\)
  则称这两个系统是代数等价的

7.3线性定常系统的运动分析

• 线性定常系统的解

  系统响应=零输入响应+零状态响应

  \(x(t)=\phi(t-t_0)+\int_{t_0}^t\phi(t-\tau)Bu(\tau)d\tau\) \(\phi(t)=e^{At}\) 是系统的状态转移矩阵

  \(x(t)=L^{-1}\{\ \Phi(s)x(0)+\Phi(s)BU(s)\ \}\) \(\Phi(s)=(sI-A)^{-1}\)是系统的预解矩阵

  \(y(t)=C\phi(t-t_0)x(t_0)+\int_{t_0}^t[Ce^{A(t-\tau)}B+D\delta(\tau)]u(\tau)d\tau\)

  \(y(t)=L^{-1}\{C\Phi(s)x(0)+[C\Phi(s)B+Ds]U(s)\}\)

• 状态转移矩阵的性质（或者说矩阵指数函数的性质）

  计算方法

  • A为对角阵时矩阵指数函数的求取

  • A为Jordan矩阵时矩阵指数的求取

  • \(\phi(t)=L^{-1}\Phi(s)=L^{-1}(sI-A)^{-1}\)

  • 利用Caley-Hamilton定理求取

7.4线性系统的能控性和能观测性

//卡尔曼首先提出，是最优控制和最优估计的基础

• 7.4.1线性系统的能控性和能控性判据

• 能控性定义 直观上，状态是否都受输入的控制

  • 能控性判据

    设n阶线性定常系统的状态方程为\(\bold{\dot{x}}=\bold{A}x+\bold{B}u\)

  系统完全能控\(\Longleftrightarrow\)\(rank[\bold{Q_c}]=rank[\bold{B}\ \bold{AB}\ ...\ \bold{A^{n-1}B}]=n\)

  其中\(Q_c\)是系统能控性矩阵

• 7.4.2线性系统的能观测性和能观测性判据

  • 能观测性定义 直观上，输出是否反映系统的状态

  • 能观测性判据

    对于线性定常系统

    \(\dot{x}=Ax+Bu\)

    \(y=Cx+Du\)

    系统完全能观测\(\Leftrightarrow\)\(rank[Q_o]=rank\left[ \begin{matrix} C\\ CA\\ \vdots\\ CA^{n-1} \end{matrix} \right]=n\)

    其中\(Q_o\)是系统能观测性矩阵

• 7.4.3对偶原理

  • 线性系统的对偶关系

    设有2个n阶线性定常系统\(S_1\)和\(S_2\)，其状态空间表达式分别为

    \(S_1: \dot{x}=Ax+Bu\)

    ​ \(y=Cx\)

    \(S_2:\dot{z}=A^{T}z+C^{T}v\)

    ​ \(w=B^{T}z\)

    则称\(S_1\)和\(S_2\)为对偶系统。

  • 对偶原理

    设\(S_1\)和\(S_2\)是互为对偶的两个系统。若\(S_1\)是状态完全能控(或完全能测的)，则\(S_2\)是状态完全能测（或完全能控的）

  • 对偶系统的两个基本特征

    1. 对偶系统的传递函数互为转置
    2. 对偶系统特征值相同

• 7.4.4非奇异线性变换的不变特性与约当判别法

  • 非奇异线性变换的不变特性：系统的特征值，传递函数，能控性和能测性不变

  • 约当判别法

    对于具有Jordan规范型的系统。

    （1）系统完全可控\(\Longleftrightarrow\)每个Jordan块末行对应的\(B\)矩阵中的行元素不全为0

    （2）系统完全能观测\(\Longleftrightarrow\)每个Jordan块首列所对应的\(C\)矩阵中的列元素不全为0

    对角规范型可看成是特殊的Jordan规范型，每个Jordan Block的维数是1×1，该元素既是末行也是首列，并且不能存在2个Jordan块由相同特征值构成，此时上述结论不成立。

  • 系统的能控性、能观测性与传递函数的关系

    对于SISO，系统是既能控又能观测$\Longleftrightarrow $传递函数的分子、分母之间没有公因式

7.5线性系统的状态反馈与极点配置

闭环系统性能与闭环极点密切相关。采用系统状态作为反馈量，这就是状态反馈。

• 7.5.1状态反馈

  状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考端输入相减形成控制律，作为系统的控制输入。

  可以证明：状态反馈不改变系统的能控性，但有可能改变系统的能观测性

• 7.5.2极点配置

  对于单输入系统

  \(\dot{x}=Ax+Bu\)

  \(y=Cx\)

  一组期望的闭环特性值为\(\{s_1^*，s_2^*,...,s_n^*\}\)，试确定\(1×n\)的反馈增益矩阵\(K\)，通过状态反馈矩阵\(u=r=Kx\),使闭环系统

  \(\dot{x}=(A-BK)x+Br\)

  \(y=Cx\)

  的极点满足\(\{s_i^*,i=1,...,n\}\),该问题称为系统的极点配置问题

  定理：利用线性状态反馈，可实现闭环极点任意配置\(\Longleftrightarrow\)系统状态完全可控

7.6状态观测器

状态观测器设计问题又常称为状态重构问题。状态重构问题的实质就是利用原系统中可直接测量的变量重新构造一个系统。

• 7.6.1全维状态观测器

• 7.6.2全维状态观测器的设计

• 7.6.3降维状态观测器

• 7.6.4分离原理

  对于系统的综合一个重要手段就是引入状态反馈。如果状态量是完全可以测量的，则可以直接构成状态反馈；若状态变量不完全可测，就要借助状态观测器，利用重构状态进行反馈设计，此时，他与直接状态反馈有何相同与不同呢?

  设系统的SSE如下

  \(\dot{x}=Ax+Bu\)

  \(y=Cx\)

  若(A,B)矩阵对是可控的，则可以通过选择状态反馈增益矩阵K,使闭环系统性能按要求配置。若(A,C)矩阵对可观测，则即使系统状态不完全可测量，可构造一个观测器，重构系统状态。假设系统状态可测，直接引入如下状态反馈

  \(u=-Kx+v\)

  则对应闭环系统为

  \(\dot{x}=(A-BK)x+Bv\)

  \(y=Cx\)

  若状态不完全可测量，则基于状态观测器的状态反馈矩阵控制律为

  \(\dot{\bar{x}}=(A-LC)\bar{x}+Bu-Ly\)

  \(u=-K\bar{x}+v\)

  状态误差\(\widetilde{x}(t)=\bar{x}-x\)。则\(\dot{\widetilde{x}}(t)=(A-LC)\widetilde{x}(t)\)

  整个系统的极点由\((A-BK)\)和\((A-LC)\)组成，所以控制系统的动态特性和观测器特性是相互独立的。因此，只要系统满足(A,B)可控，(A,C)可测，就可以分别 按由系统状态直接实现状态反馈的方程 设计状态反馈增益矩阵K 以及 按设计不含状态反馈的系统状态观测器的方法 选择观测器增益矩阵L，这个原理称为分离原理。需要注意的是，观测器极点的选择比系统极点的选择更负，或者说离虚轴更远，以保证观测器的过渡过程比系统过渡过程短。

1. 自适应控制
2. 最优控制
3. 变结构控制
4. 系统镇定：受控系统通过状态反馈/输出反馈，使得闭环系统渐进稳定，这样的问题称为镇定问题。能通过反馈控制而达到渐进稳定的系统是可镇定的。为了使系统稳定，只需将那些不稳定因子，即具有非负实部的极点，配置到\(s\)平面的左半平面即可。因此，通过状态反馈/输出反馈矩阵使系统的特征值得到相应配置，把系统的特征值配置在\(s\)平面的左半开平面就可以实现系统镇定。参考：https://wenku.baidu.com/view/3e014a5df01dc281e53af0e0.html
5. 解耦问题：解耦控制问题是线性系统理论上的经典问题，表示选择适当的控制规律将一个多变量系统化为多个独立的单变量系统的控制问题。该问题最早在30年代末提出，1969年由E.G.吉尔伯特比较深入和系统地加以解决。

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