SPFA算法

本文主要是介绍SPFA算法，对大家解决编程问题具有一定的参考价值，需要的程序猿们随着小编来一起学习吧！

SPFA算法简介

SPFA算法采用图的存储结构是邻接表，方法是动态优化逼近法。算法中设立了一个先进先出的队列Queue用来保存待优化的顶点，优化时从此队列里顺序取出一个点w，并且用w点的当前路径D[W]去优化调整其它各点的路径值D[j]，若有调整，即D[j]的值改小了，就将J点放入Queue队列以待继续进一步优化。反复从Queue队列里取出点来对当前最短路径进行优化，直至队空不需要再优化为止，此时D数组里就保存了从源点到各点的最短路径值 。

    下面举一个实例来说明SFFA算法是怎样进行的：

    设有一个有向图G＝{V，E}，其中，V＝{V0,V1,V2,V3,V4}，E＝{<V0,V1>,<V0,V4>,<V1,V2>,<V1,V4>,<V2,V3>,<V3,V4>,<V4,V2>}＝{2,10,3,7,4,5,6}，见下图：

算法执行时各步的Queue队的值和D数组的值由下表所示。

表一  实例图SPFA算法执行的步骤及结果

算法执行到第五步后，队Queue空，算法结束。源点V0到V1的最短路径为2，到V2的最短路径为5，到V3的最短路径为9，到V4的最短路径为9，结果显然是正确的。

 SPFA算法

　　求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。

SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的.

很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。

　　简洁起见，我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。

　　我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，而且用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。

　　定理: 只要最短路径存在，上述SPFA算法必定能求出最小值。

　　证明：每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。换言之，每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。（证毕）

　　期望的时间复杂度O(ke)， 其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。

　　实现方法：建立一个队列，初始时队列里只有起始点，在建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行松弛操作，用队列里有的点去刷新起始点到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空

　　判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）

***判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）***

 具体算法参考
http://www.cnblogs.com/scau20110726/archive/2012/11/18/2776124.html ;

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