Codeforces Round #726 (Div. 2) D题解

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题意

\(Alice\)和\(Bob\)在玩游戏。
他们从一个正整数\(n\)开始轮流对它进行运算。每个回合，玩家可以从\(n\)中减去一个非\(1\)或\(n\)的因数。在他/她的回合中不能移动的玩家输。\(Alice\)总是先动。
注意，他们在每个回合中都要减去当前数字的除数。
你被要求找出如果两名玩家都选择最佳策略，谁将赢得游戏。

思路

证明：

我们先考虑\(n\)为奇数的情况：

• 当\(n\)为质数时，先手无法选择任何数。即先手必输
• 当\(n\)为合数时，这个奇数的因子必然是奇数，那么这个\(n\)可以被分解为\(p_1*p_2(p_1,p_2均为奇数)\)。那么先手选择\(p_1\)，则变为\((p_1-1)*p_2\)，后手若选择\(p_2\)，那么可以变为\((p_1-2)*p_2\)，此时又转移为了两个奇数相乘，即先手必然面对奇数乘奇数的情况，辗转最后可转移成先手面对质数\(*1\)。即先手必输，面对奇数乘偶合数的人必赢。

综上所述若\(n\)为奇数，则先手必输。

在考虑偶数的情况：

• 若\(n\)不被\(2\)的幂次整除，即\(n=2^t*k(k为奇数)\)。此时若先手选择\(k\)，则后手将面对\((2^t-1)*k\)，即面对奇数的情况，由上述所知后手必输。即先手必赢。
• 若\(n\)被\(2\)的幂次整除，则分为：
  1. \(n=2*t(t为奇数)\)，先手只能选择\(2\)的倍数，则后手将面对\(x=(2^k-1)*2^{t-k}\)：若\(k\)不为\(1\)，\(x=奇数*偶合数\)，由上述所知必赢，所以先手必赢；若\(k\)为\(1\)，\(x=2^{k-1}\)，此时同样可以选择\(2^{k-2}\)，将\(2^{k-2}\)局面抛给先手，即先手必然面对\(2的奇次幂\)，辗转下来必然面对\(2\)，先手必输。则综上所述先手必输。
  2. \(n=2*t(t为偶数)\)，先手可以选择\(2^{t-1}\)，将\(2的奇次幂\)局面抛给后手，则后手必输。即先手必赢。

综上所述若\(n\)不被\(2\)的幂次整除先手必赢，若\(n\)为\(2\)的奇次幂先手必输，若\(n\)为\(2\)的偶次幂先手必赢。

证毕。

代码

int main() 
{
    int T;
    cin >> T;
    while (T -- ) 
    {
        int n;
        cin >> n;
        
        if (n % 2 != 0) puts("Bob");
        else 
        {
            int cnt = 0;
            while (n % 2 == 0) 
            {
                cnt ++ ;
                n /= 2;
            }
            if (n > 1) puts("Alice");
            else if (cnt % 2 == 0) puts("Alice");
            else puts("Bob");
        }
    }
 
    return 0;
}

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