傅里叶变换

2021/6/28 23:21:20

本文主要是介绍傅里叶变换,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!

傅里叶变换是用三角函数表示目标函数,傅里叶变换广泛的应用在信号处理、偏微分方程、热力学、概率统计等领域:大到天体观测,小到我们手机中图片、音频应用等,没有傅里叶变换就没有如今丰富多彩的信息化时代。在人工智能领域中,可利用傅里叶变换证明中心极限定理,而中心极限定理是概率学最重要的基石;傅里叶变换本质是将时域的信息汇总到频域中,当两组数据的傅里叶变换结果相同时,称为两者依概率收敛。本章介绍傅里叶变换推导过程并结合代码实现傅里叶变换,按数学推导的离散傅里叶变换算法复杂度较高,本章最后介绍快速傅里叶变换(FFT)的实现原理。

一、傅里叶变换原理

1.1 目标函数f(x)为周期2π的函数

前面的章节中曾用多项式拟合目标函数,傅里叶变换是利用三角函数拟合函数,正弦、余弦函数有以下性质:

正交.png (1)

三角函数集合正交基础.png在[-π,π]可以看成函数空间一组正交基,目标函数f(x)可写成傅里叶级数:

三角函数形式1.png (1.1)

an、bn都是待定系数,也表示f(x)在正交基上的坐标,(1.1)式两边乘以cos mx ,m为一个特定系数坐标,求积分有:

推导1.png

由此可得an:

an.png    (1.3)

同样可得bn:

bn.png      (1.4)

上面函数f(x)周期为2π,如果f(x)是周期为2T,可用线性仿射将f(x)的定义域x投射到t上,t的周期是2π:

放射.png

此时有变换1.png,变元.png,从上图可见,Φ(t)是在[-∞,∞]一个周期为2π函数,有:

pt.png

变换1.png转化为4png.png代入上式可得:

周期t.png (1.5)

再利用积分求系数an、bn:

ttt.png  (1.6)

1.2 f(x)非周期函数

f(x)不是周期函数时,可理解为f(x)的周期为+∞,不妨先考虑周期为2T函数fT(x),T为无限大取极限后,可将fT(x)延拓到周期为+∞函数f(x),先利用欧拉公式将公式(1.5)变为复数形式:

欧拉公式.png

频率.png公式(1.5)可表示成:

傅里叶级数转化为复数形式.png     (1.7)

an+ibn和an-ibn是一对共轭复数,幅值相同,相位角在x轴上对称,设cn=an-ibn,利用公式(1.6)得:

cn.png    (1.7.1)

cn的共轭共轭2.png且有:

c2n.png  (1.7.2)

公式1.7中n的取值范围是从1到无穷,引入cn后n的取值范围是(-∞,+∞),1.7式写成下面的形式:

复数技术形式.png   (1.7.3)

1.7.1代入上式后得到fT(x):

FT21.png   (1.8)

接下来利用式(1.8)将fT(x)周期延拓至∞可得目标函数f(x):

TW.png    (1.8.1)

式(1.8.1)代入(1.8)得到f(x)极限形式的函数:

fft21.png

当T为+∞时,wn.png,f(x)此时可表示成积分形式:

傅里叶变换.png (1.9)

上式中傅里叶变换积分形式.png称为原函数f(x)的傅里叶变换,计算积分过程中ω视为符号常量,傅里叶变换积分形式.png积分结果是含自变量ω的函数,傅里叶变换可用下面的表示方式:

傅里叶变换形式1.png (1.10)

而F(f)再经过一次积分后可还原为f(x),这称为傅里叶逆变换:

傅里叶逆变换.png

f(x)同样称为时域函数,比如记录每天雨量的变化、每小时道路车辆的流量、汽车每年的里程数等,时域函数是日常生活中大量接触到的函数模型,而1.10式将f(x)经过傅里叶变换后得到是频域的信息,频域单位是赫兹,反应出原函数周期性方面的信息,时域与频域观察世界视角不同,可以用下图来加强对两者的认识。

时域与频域.png

二、程序实现傅里叶变换

2.1 离散傅里叶变换

代码中利用式(1.10)的离散形式实现傅里叶变换,设在定义域内选择N个数据实现f(x)函数离散化,f(x)可表示成:

傅里叶变换离散形式.png (2)

如果f(x)表示的是一个信号,所选择的时间段为一秒即单位时间,那么N称为采样频率,由采样定理可知,采样频率至少是信号最大频率的2倍,就傅里叶变换而言,采样频率最好是2的整数倍,有了这些设定后公式(2)可表示为:

离散共1.png    (2.1)

上式用12.png将单位时间一秒分成N份,在傅里叶变换中也称归一化,2.1式中ω代表角速度,通常将角速度处理成频率形式,频率h与角速度的关系有:

匹配.png

上式代入2.1后有:

xh.png  (2.2)

X(h)是单位为赫兹的频域函数,再回头看公式1.7.3,参数cn中的n取值范围是(-∞,+∞),也就是说原公式中是允许有负角速度或者说负频率存在的,而(2.2)式中n是非负整数,代表着客观物理世界中没有所谓的负频率,这是数学与物理的差异性导致的,(2.2)引入负频率才能满足傅里叶变换公式,幸运的是正频率与负频率是共轭的关系,即cn与cn好.png关系,两者的幅值是一样的,傅里叶离散变换的目标是得到每个频率对应幅值,所以将(2.2)乘以2即可得到与1.7.3式一样的定义。

频谱2.png      (2.3)

下面代码利用公式2.3实现傅里叶离散变换,目标函数(原始信号)为:

testf.png

原始信号含有频率为180、390、600Hz的信号,采用频率为2048Hz,对应幅值分别为7、1.5、5.1。

import numpy as np
from scipy.fftpack import fft,ifft
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pylab import mpl

mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 显示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 显示负号
Samplingfq=2048
def loadsignal(N  ):
    # 采样点选择1400个,因为设置的信号频率分量最高为600Hz,根据采样定理知采样频率要大于信号频率2倍,所以这里设置采样频率为1400Hz(即一秒内有1400个采样点)
    x = np.linspace(0, 1, N)
    # 设置需要采样的信号,频率分量有180,390和600
    y = 7 * np.sin(2 * np.pi * 180 * x) + 1.5 * np.sin(2 * np.pi * 390 * x) + 5.1 * np.sin(2 * np.pi * 600 * x)
    return  x,y
 

def FourierTransform():
    x, y = loadsignal(Samplingfq)
    ffts=[]
    for i in range(Samplingfq):
        real=0
        imag=0
        for t in range(Samplingfq):
            real=real+y[t]* np.cos(2*np.pi*i*x[t])*2/Samplingfq
            imag=imag+y[t]*  np.sin(2*np.pi*i*x[t])*-2/Samplingfq
        ffts.append([i,np.sqrt(real**2+imag**2)  ])
    ffts=np.array(ffts)
    plt.subplot(211)
    plt.plot(range(int(Samplingfq/2)),  ffts[:int(Samplingfq/2),1]  , 'b')
    plt.title('归一化单边', fontsize=10, color='#F08080')
    plt.subplot(212)
    plt.plot(range(Samplingfq),  ffts[:, 1]  , 'b')
    plt.title('归一化双边', fontsize=10, color='#F08080')
    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    FourierTransform()
 for i in range(Samplingfq):
        real=0
        imag=0
        for t in range(Samplingfq):
            real=real+y[t]* np.cos(2*np.pi*i*x[t])*2/Samplingfq
            imag=imag+y[t]*  np.sin(2*np.pi*i*x[t])*-2/Samplingfq

上面代码片段即为对公式2.3应用,傅里叶离散变换后得到频率图如下图所示:

Figure_1.png

2.2 快速傅里叶变换FFT

上面的示例程序复杂度是n2,n对应于采样频率,当目标函数或原始信号的最大频率较高时,根据采样定理,采样频率至少为最大频率的2倍,这就造成n2值非常大,算法复杂度较高影响傅里叶变换的使用,利用快速傅里叶变换(FFT)可将复杂度降至复杂度.png,随着采样频率的升高,FFT效率提升越来越明显,FFT是信号传输、图像分析、频谱分析、数据压缩最重要的数据算法之一,FFT出现给傅里叶变换带来了旺盛的生命力。

单位时间内采样频率为N,0到N-1之间任意时刻t信号值用x(t)表示,2.3式用下式表示:

信号表示1.png (2.4)

上式中k代表0到N-1之间任意一个频率,且有0<=k<N-1,引入一个新的符号变量:

单位圆的根.png

wnk.png是单位圆xN=1的一个根,wnk.png有以下性质:

wnk性质.png

利用欧拉公式、三角函数周期性即可证明这两个性质,引入wnk.png后2.4式可写为:

信号形式1.png    (2.5)

X(k)内含一个N-1次多项式,系数是x(0)、x(1)、x(2)....x(N-1) ,针对该多项式有以下性质:

多项式.png

在引入另外两个多项式A1(x)、A2(x):

多项式2.png

三者之间关系为:

多项式44.png    (2.6)

wnk.png代入到2.6式中,并结合wnk.png自身的性质,当k<N/2时有:

GONGSI1.png   (2.6.1)

k+N/2代入2.6.1式有:

G21.png   (2.6.2)

由式2.6.1和式2.6.2可知,得到NK.png后,即可知道WKNN12.png值,而WKNN12.png再经过简单处理后即可得到傅里叶变换后的值:

31.png     (2.7)

下面以一个简单信号为例,在单位时间内采样频率为8,8个采样点信号分别为0,1,2,3,4,5,6,7。对这组信号采用快速傅里叶变换有以下过程。简单起见,下图中数值即代表信号编号也代表信号的数值大小:

1624863153592068447.png

以求a81.png为例,root1.png,a81.png可分解为:

第一层.png

这个分解对应于树状图的第一层,其中a141.png对应系数是0、2、4、6,A241.png对应的系数是1、3、5、7;a141.png可以理解为一个新的傅里叶变换:

第二次.png

余下文章请转至链接:傅里叶变换

 



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