数据结构与算法 -- 排序与搜索
2021/7/11 17:13:20
本文主要是介绍数据结构与算法 -- 排序与搜索，对大家解决编程问题具有一定的参考价值，需要的程序猿们随着小编来一起学习吧！
目录
- 前言
- 排序与搜索
- 一、 冒泡排序
- 分析与实现
- 时间复杂度
- 二、选择排序
- 概念
- 分析与实现
- 时间复杂度
- 三、插入算法
- 概念
- 分析与实现
- 时间复杂度
- 四、希尔排序
- 分析
- 实现
- 时间复杂度
- 五、快速排序
- 概念
- 分析
- 时间复杂度
- 六、归并排序
- 时间复杂度
- 常见排序算法效率比较
- 七、搜索
- 二分查找
之前都是讲的数据结构部分，这里开始讲算法部分。
排序与搜索排序算法的稳定性
稳定性：稳定排序算法会让原本有相等键值的纪录维持相对次序。也就是如果一个排序算法是稳定的，当有两个相等键值的纪录R和S，且在原本的列表中R出现在S之前，在排序过的列表中R也将会是在S之前。
当相等的元素是无法分辨的，比如像是整数，稳定性并不是一个问题。然而，假设以下的数对将要以他们的第一个数字来排序。
(4, 1) (3, 1) (3, 7)（5, 6）
在这个状况下，有可能产生两种不同的结果，一个是让相等键值的纪录维持相对的次序，而另外一个则没有：
(3, 1) (3, 7) (4, 1) (5, 6) （维持次序） (3, 1) 在(3, 7)之前，和原始的顺序一样， 这是稳定的
(3, 7) (3, 1) (4, 1) (5, 6) （次序被改变）
不稳定排序算法可能会在相等的键值中改变纪录的相对次序，但是稳定排序算法从来不会如此。不稳定排序算法可以被特别地实现为稳定。作这件事情的一个方式是人工扩充键值的比较，如此在其他方面相同键值的两个对象间之比较，（比如上面的比较中加入第二个标准：第二个键值的大小）就会被决定使用在原先数据次序中的条目，当作一个同分决赛。然而，要记住这种次序通常牵涉到额外的空间负担。
分析与实现
交换过程图示(第一次)：
那么我们需要进行n-1次冒泡过程，每次对应的比较次数如下图所示：
排序关注的是算法，这里用顺序表。也可以用链表，因为链表本事也是线性表。
顺序表，交换的时候，交换的只是两个位置保存的数据，
而链表交换的是两个结点，复杂在于，链接区需要重新指定排布。
# coding :utf-8
def bubble_sort(alist):
"""冒泡排序"""
n = len(alist)
for j in range(n-1):
for i in range(0, n-1-j):
# 从头走到尾
if alist[i] > alist[i+1]:
alist[i], alist[i+1] = alist[i+1], alist[i]
为了好理解，将上面代码改为下面的代码：
# coding :utf-8
def bubble_sort(alist):
"""冒泡排序"""
n = len(alist)
for j in range(n-1,0,-1):
# j表示每次遍历需要比较的次数，是逐渐减小的
count = 0
for i in range(j):
# 班长从头走到尾
if alist[i] > alist[i+1]:
alist[i], alist[i+1] = alist[i+1], alist[i]
count += 1
if 0 == count:
return
if __name__ == "__main__":
li = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
print(li)
bubble_sort(li)
print(li)
优化代码如下：
# coding :utf-8
def bubble_sort(alist):
"""冒泡排序"""
n = len(alist)
for j in range(n-1):
conut = 0
for i in range(0, n-1-j):
# 从头走到尾
if alist[i] > alist[i+1]:
alist[i], alist[i+1] = alist[i+1], alist[i]
count += 1
if 0 == count:
return
时间复杂度
最优时间复杂度：O(n) （表示遍历一次发现没有任何可以交换的元素，排序结束。）
最坏时间复杂度：O(n2)
稳定性：稳定
概念
选择排序（Selection sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理如下。首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到所有元素均排序完毕。
选择排序的主要优点与数据移动有关。如果某个元素位于正确的最终位置上，则它不会被移动。选择排序每次交换一对元素，它们当中至少有一个将被移到其最终位置上，因此对n个元素的表进行排序总共进行至多n-1次交换。在所有的完全依靠交换去移动元素的排序方法中，选择排序属于非常好的一种。
分析与实现
分析：
alist = [54, 226, 93, 17, 77, 31, 44, 55, 20]
0 1 2 3 4 5 6 7 8
min = 0
alist[0], alist[3] = alist[3], alist[0]
alist = [17, 226, 93, 54, 77, 31, 44, 55, 20]
min = 8
alist[1], alist[8] = alist[8], alist[1]
alist = [17, 20, 93, 54, 77, 31, 44, 55, 226]
min = 5
alist = [17, 20, 31, 54, 77, 93, 44, 55, 226]
选择排序，前部分：有序；后部分：无序。
始终从后面无序中进行排序，将最小/大的元素找出添加到前部分的有序中。
实现代码
第一种写法：
def select_sort(alist):
"""选择排序"""
n = len(alist)
# 需要进行n-1次选择操作
for j in range(n-1): # j: 0 ~ n-2
min_index = j # 记录最小位置
# 从j+1位置到末尾选择出最小数据
for i in range(j+1, n):
if alist[min_index] > alist[i]:
min_index = i
alist[j], alist[min_index] = alist[min_index], alist[j]
if __name__ == "__main__":
alist = [54,226,93,17,77,31,44,55,20]
selection_sort(alist)
print(alist)
def select_sort(alist):
n = len(alist)
# 需要进行n-1次选择操作
for i in range(n-1):
# 记录最小位置
min_index = i
# 从i+1位置到末尾选择出最小数据
for j in range(i+1, n):
if alist[j] < alist[min_index]:
min_index = j
# 如果选择出的数据不在正确位置，进行交换
if min_index != i:
alist[i], alist[min_index] = alist[min_index], alist[i]
alist = [54,226,93,17,77,31,44,55,20]
select_sort(alist)
print(alist)
时间复杂度
最优时间复杂度：O(n2)
最坏时间复杂度：O(n2)
稳定性：不稳定（考虑升序每次选择最大的情况）
概念
将序列视为两部分，一部分是有序的，一部分是无序的。
插入排序（英语：Insertion Sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。插入排序在实现上，在从后向前扫描过程中，需要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间。
一开始将第一个元素视为有序的。拿后面的无序序列的第一个元素与前面的有序序列进行比较。将前面的最有一个元素往前比较。
选择排序思想：把序列分为两部分，有序和无序，一开始认为左边是有序的，然后将右边无序的元素中选择出最小的拿到前面有序的中去。（操作的是右边的无序数据）
插入排序思想：把序列分为两部分，有序和无序，一开始认为左边是有序的，然后将右边无序的第一个元素去和左边的元素比较（从右往左），插入到指定的位置。（操作的是左边的有序数据，从右往左判断）
分析与实现
分析
alist = [93, 54, 77, 44, 55, 226]
alist = [54，93, 77, 44, 55, 226]
alist = [54，77， 93, 44, 55, 226]
alist = [44， 54，77， 93, 55, 226]
alist = [44， 54，55， 77， 93, 226]
alist = [44， 54，55， 77， 93, 226 ]
实现
方法1
# O(n^2) def insert_sort(alist): """插入排序""" n = len(alist) # 从右边的无序序列中取出多少个元素执行这样的过程 for j in range(1, n): # O(n) # i代表内层循环起始值 i = j # 执行从右边的无序序列中取出第一元素，即i位置的元素，然后将器插入到前面的正确位置中 while i>0 : # O(n) if alist[i] < alist[i-1]: alist[i], alist[i-1] = alist[i-1], alist[i] i -= 1 # 下面的else算是对代码的优化，提升最优时间复杂度O(1)，没有else的话是O(n) else: break if __name__ == "__main__": alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20] insert_sort(alist) print(alist)
方法2：
def insert_sort(alist):
"""插入排序"""
# 从第二个位置，即下标为1的元素开始向前插入
for i in range(1, len(alist)):
# 从第i个元素开始向前比较，如果小于前一个元素，交换位置
for j in range(i, 0, -1):
if alist[j] < alist[j-1]:
alist[j], alist[j-1] = alist[j-1], alist[j]
else:
# alist[j] >= alist[j-1] 跳出此循环，原因是前面是有序的，从小到大排好了
break
if __name__ == "__main__":
alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
insert_sort(alist)
print(alist)
时间复杂度
最优时间复杂度：O(n) （升序排列，序列已经处于升序状态），加else部分的提升
最坏时间复杂度：O(n2)
稳定性：稳定
分析
希尔排序实际上就是对插入排序的一个改进版。
alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
将原有一个序列，分为几个序列。每个子序列按照插入去做。
常见排序算法效率比较
实现
def shell_sort(alist): """希尔排序""" n = len(alist) gap = n // 2 # 注意python3 # gap变化到0之前，插入算法执行的次数 while gap>0: # 此插入算法，与普通的插入算法的区别就是gap for j in range(gap, n): # j : [gap, gap+1, gap+2, ...., n-1] i = j while i>0: if alist[i] < alist[i-gap]: alist[i], alist[i-gap] = alist[i-gap], alist[i] i -= gap else: break # 缩短gap步长 gap //= 2 if __name__ == "__main__": alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20] shell_sort(alist) print(alist)
方法二：
def shell_sort(alist):
n = len(alist)
# 初始步长
gap = n / 2
while gap > 0:
# 按步长进行插入排序
for i in range(gap, n):
j = i
# 插入排序
while j>=gap and alist[j-gap] > alist[j]:
alist[j-gap], alist[j] = alist[j], alist[j-gap]
j -= gap
# 得到新的步长
gap = gap / 2
if __name__ == "__main__":
alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
shell_sort(alist)
print(alist)
时间复杂度
最优时间复杂度：根据步长序列的不同而不同
最坏时间复杂度：O(n2)
稳定想：不稳定
重点：递归嵌套。 – 函数调用函数自身
概念
快速排序（英语：Quicksort），又称划分交换排序（partition-exchange sort），通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。
步骤：
- 从数列中挑出一个元素，称为"基准"（pivot）；
- 重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区结束之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作；
- 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。
递归的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。虽然一直递归下去，但是这个算法总会结束，因为在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。
分析
两个游标。
快速排序的分析
low这个游标从左向右走过的位置都比第一个元素小，high从右向左走，走过的位置都比第一个元素的大，然后交换位置，然后继续向中间移动，一直到两个游标在一个位置。下面再重复这样的环节。
第一轮之后：
54 26 20 17 44 54
开始
先让high游标向左走。
此时，high与low位置重合，中间值（原始的第一个元素的位置就在这个重合的位置）下面按上面的继续重复操作。
# coding:utf-8
def quick_sort(alist, first, last):
"""快速排序"""
# 递归的退出条件
if first >= last:
return
mid_valus = alist[first]
low = first
high = last
while low < high:
# 让high游标左移，# 遇到等于的情况，就读放在右边处理，也就是high继续向左走
while low < high and alist[high] >= mid_value:
high -= 1
alist[low] = alist[high]
# low游标右移
while low < high and alist[low] < mid_value:
low += 1
alist[high] = alist[low]
# 退出循环后，low与high重合，此时所指位置为基准元素的正确位置, 将基准元素放到该位置
alist[low] = mid_value # alist[high] = mid_value
# 递归执行
# 对基准元素(low)左边的子序列进行快速排序
quick_sort(alist, 0, low-1)
# 对基准元素（low）右边的子序列进行快速排序
quick_sort(alist, low+1, last)
if __name__ == "__main__":
alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
quick_sort(alist)
print(alist)
# coding:utf-8
def quick_sort(alist, start, end):
"""快速排序"""
# 递归的退出条件
if start >= end:
return
# 设定起始元素为要寻找位置的基准元素
mid = alist[start]
# low为序列左边的由左向右移动的游标
low = start
# high为序列右边的由右向左移动的游标
high = end
while low < high:
# 如果low与high未重合，high指向的元素不比基准元素小，则high向左移动
while low < high and alist[high] >= mid:
high -= 1
# 将high指向的元素放到low的位置上
alist[low] = alist[high]
# 如果low与high未重合，low指向的元素比基准元素小，则low向右移动
while low < high and alist[low] < mid:
low += 1
# 将low指向的元素放到high的位置上
alist[high] = alist[low]
# 退出循环后，low与high重合，此时所指位置为基准元素的正确位置
# 将基准元素放到该位置
alist[low] = mid
# 对基准元素左边的子序列进行快速排序
quick_sort(alist, start, low-1)
# 对基准元素右边的子序列进行快速排序
quick_sort(alist, low+1, end)
if __name__ == "__main__":
alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
quick_sort(alist,0,len(alist)-1)
print(alist)
时间复杂度
最优时间复杂度：O(nlogn)
最坏时间复杂度：O(n2)
稳定性：不稳定
从一开始快速排序平均需要花费O(n log n)时间的描述并不明显。但是不难观察到的是分区运算，数组的元素都会在每次循环中走访过一次，使用O(n)的时间。在使用结合（concatenation）的版本中，这项运算也是O(n)。
在最好的情况，每次我们运行一次分区，我们会把一个数列分为两个几近相等的片段。这个意思就是每次递归调用处理一半大小的数列。因此，在到达大小为一的数列前，我们只要作log n次嵌套的调用。这个意思就是调用树的深度是O(logn)。但是在同一层次结构的两个程序调用中，不会处理到原来数列的相同部分；因此，程序调用的每一层次结构总共全部仅需要O(n)的时间（每个调用有某些共同的额外耗费，但是因为在每一层次结构仅仅只有O(n)个调用，这些被归纳在O(n)系数中）。结果是这个算法仅需使用O(nlogn)时间。
六、归并排序归并排序是采用分治法的一个非常典型的应用。归并排序的思想就是先递归分解数组，再合并数组。
将数组分解最小之后，然后合并两个有序数组，基本思路是比较两个数组的最前面的数，谁小就先取谁，取了后相应的指针就往后移一位。然后再比较，直至一个数组为空，最后把另一个数组的剩余部分复制过来即可。
把整个序列进行拆分，拆分后对两边再进行拆分，
拆分：
合并
递归实现：
def merge_sort(alist):
"""归并排序"""
n = len(alist)
if n<= 1:
return alist
# 拆分（二分分解）
mid = n//2 # python3
# 传入的是新的列表，也就是子序列，而排序传的是自身（原始序列）
left_li = merge_sort(alist[:mid]) # left 采用归并排序后形成的有序的新的列表
right_li = merge_sort(alist[mid:]) # right 采用归并排序后形成的有序的新的列表
# 合并（将两个有序的子序列合并成一个整体）
# merge(left, right)
left_pointer, right_pointer = 0, 0
result = []
while left_pointer<len(left_li) and right_pointer<len(right_li):
if left_li[left_pointer] <= right_li[right_pointer]:
result.append(left_li[left_pointer])
left_pointer += 1
else:
result.append(right_li[right_pointer])
right_pointer += 1
# 如果是走到头之后的列表，就是空列表
result += left_li[left_pointer:]
result += right_li[right_pointer:]
return result
if __name__ == "__main__":
alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
sorted_alist = mergeSort(alist)
print(sorted_alist)
运行结果：
说明： 改变的不是原始列表，而是产生一个新的列表。
可以将上面的代码改为下面的代码，也就是模块化：
def merge_sort(alist):
"""归并排序"""
if len(alist) <= 1:
return alist
# 二分分解
num = len(alist)/2
left = merge_sort(alist[:num])
right = merge_sort(alist[num:])
# 合并
return merge(left,right)
def merge(left, right):
'''合并操作，将两个有序数组left[]和right[]合并成一个大的有序数组'''
#left与right的下标指针
l, r = 0, 0
result = []
while l<len(left) and r<len(right):
if left[l] <= right[r]:
result.append(left[l])
l += 1
else:
result.append(right[r])
r += 1
result += left[l:]
result += right[r:]
return result
if __name__ == "__main__":
alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
sorted_alist = mergeSort(alist)
print(sorted_alist)
时间复杂度
最优时间复杂度：O(nlogn)
最坏时间复杂度：O(nlogn)
稳定性：稳定
常见排序算法效率比较
堆排序 对应的是二叉树。
归并排序，相比之前的排序，时间复杂度小，但是空间上大了。
必须掌握快速排序，不需要额外空间，归并排序增加了额外空间。
搜索就是在某个序列中找到某个元素。
搜索是在一个项目集合中找到一个特定项目的算法过程。搜索通常的答案是真的或假的，因为该项目是否存在。 搜索的几种常见方法：顺序查找、二分法查找、二叉树查找、哈希查找。
二分查找
二分查找又称折半查找，优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好；其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。
只能作用有顺序的顺序表，不能支持链表。
计算中间坐标，关注起始和终止位置。
二分查找条件：
- 必须有序（已经排过序的）；
- 只支持下标索引，也就是支持顺序，不支持链表。
二分法查找实现
递归实现: 不需要在原有序列中递归
def binary_search(alist, item): """二分排序:递归""" n = len(alist) if n>0: mid = n//2 if alist[mid] == item: return True elif item < alist[mid]: return binary_search(alist[:mid], item) else: return binary_search(alist[mid+1:], item) return False if __name__ == "__main__": testlist = [0, 1, 2, 8, 13, 17, 19, 32, 42,] print(binary_search(testlist, 3)) print(binary_search(testlist, 13))
（非递归实现）：原列表上查找
def binary_search_2(alist, item):
"""二分排序，非递归"""
first = 0
last = len(alist)-1
while first<=last:
mid = (first + last)//2
if alist[midpoint] == item:
return True
elif item < alist[midpoint]:
last = midpoint-1
else:
first = midpoint+1
return False
if __name__ == "__main__":
testlist = [0, 1, 2, 8, 13, 17, 19, 32, 42,]
print(binary_search_2(testlist, 3))
print(binary_search_2(testlist, 13))
二分查找时间复杂度
最优时间复杂度：O(1)
最坏时间复杂度：O(logn)
遍历查找
最优时间复杂度：O(1)
最坏时间复杂度：O(n)
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