动力系统笔记4

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动力系统的一个重要问题是证明或者证否周期轨道的存在，我们特别讨论\(\mathbb{R}^2\)上的动力系统。

证明周期轨道的存在：Poincare-Bendixson定理

对于\(\mathbb{R}^2\)上一个动力系统中的点\(x\)，它的向前轨道是

它的\(+\)极限集为

对于轨道和极限集，我们有Poincare-Bendixson定理：如果\(\gamma_+(x)\)是\(\mathbb{R}^2\)中的紧连通集，且仅包含有限个不动点，则\(\omega_+(x)\)是以下三者之一：

• 不动点
• 正则周期轨道
• 连接有限个不动点的同宿或异宿轨道

我们分情形证明：假设\(\omega_+(x)\)只包含不动点，不包含正则点，我们就得到情形1。

为了证明情形2，我们假设\(\omega_+(x)\)不包含不动点。取\(y \in \omega_+(x)\)以及\(z \in \omega_+(y)\)。由于\(z\)不是不动点，存在横截弧\(\Sigma\)以及\(y_n \in \Sigma \bigcap \gamma_+(y)\)满足\(y_n \to z\)。由于横截弧与极限集至多相交于一点，所以\(y_n = z\)，因而\(\omega_+(x)\)是正则周期轨道。

假设\(\omega_+(x)\)既包含不动点，又包含正则点。设\(y \in \omega_+(x)\)是正则点，我们取\(z \in \omega_+(y)\)。如果它是正则点，由情形2我们知道\(\gamma_+(y) = \omega_+(x)\)是正则周期轨道，与\(\omega_+(x)\)包含不动点矛盾，所以\(z\)一定是不动点。

证否周期轨道的存在：Dulac准则

假设存在\(C^1\)函数\(g\)使得\(\nabla \cdot (g \dot{x})\)在单连通区域\(U \subset \mathbb{R}^2\)中不改变符号且不恒为0，那么\(U\)中没有周期轨道。

证明非常简单：假设\(C\)是一条周期轨道，\(A\)是轨道包含连通区域，那么根据高斯定理

其中\(n\)是与\(\dot{x}\)垂直的向量，因此矛盾。

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