2020ICPC沈阳站 D-Journey to Un'Goro

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题目链接：2020ICPC沈阳站 D-Journey to Un'Goro

题目大意：
给定一个整数\(n(n\leq 1e5)\)表示一个只由字符\(r\)和\(b\)构成的字符串序列的长度，对于该序列的任意一个子序列，当该子序列中\(r\)的个数为奇数时，则称该子序列为“满意”。要求构造一系列这样的字符串序列使得其中“满意”的子序列个数最大，输出最大个数，另外，这样的序列一般不唯一，题目要求按字典序输出前\(100\)个构造的序列。

题解：
这里要从序列前缀中\(r\)个数的奇偶性上去考虑。

设\(P_i\)表示长度为\(i\)的字符序列前缀中\(r\)的个数，那么由题意可知子序列\((i, j)\)中\(r\)的个数为\(P_j - P_{i-1}\)，当且仅当\(P_j\)与\(P_i-1\)的奇偶性不同时，\(P_j-P_{i-1}\)为奇数。

那么题目就转化为构造这样的字符串序列，使得序列\(P_0, P_1, P_2...P_n\)​中满足\(P_i\)和\(P_j\)的奇偶性不同的对数最大，设序列\(P_0, P_1, P_2...P_n\)​中奇数个数为\(X\)，偶数个数为\(Y\)，则满足\(P_i\)和\(P_j\)的奇偶性不同的对数为\(XY\)，很容易想明白\(XY=\lfloor(n+1)/2\rfloor\times\lceil(n+1)/2\rceil\)，其实就是\(X\)和\(Y\)各取一半时乘积最大。

而同时发现题目只要求输出前\(100\)个序列，因此可以搜索+剪枝过掉，在\(dfs\)时分别记录当前偶数个数\(cnt_0\)和奇数个数\(cnt_1\)，当\(max\{cnt_0,cnt_1\}>\lceil(n+1)/2\rceil\)时就剪掉。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int n, cnt, limit;
char S[100010];

void dfs(int k, int cnt0, int cnt1, bool st) {
    if (cnt0 > limit || cnt1 > limit) return;
    if (k == n) {
        printf("%s\n", S);
        if (++cnt >= 100) exit(0);
        return;
    }
    S[k] = 'b';
    dfs(k + 1, cnt0 + (st ^ 1), cnt1 + st, st);
    st ^= 1;
    S[k] = 'r';
    dfs(k + 1, cnt0 + (st ^ 1), cnt1 + st, st);
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    long long ans = 1ll * ((n + 1) / 2) * ((n + 2) / 2);
    limit = (n + 2) / 2;
    printf("%lld\n", ans);
    dfs(0, 1, 0, 0);
    return 0;
}

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