1021 货币系统（完全背包问题求方案数）

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1. 问题描述：

给你一个n种面值的货币系统，求组成面值为m的货币有多少种方案。

输入格式

第一行，包含两个整数n和m。接下来n行，每行包含一个整数，表示一种货币的面值。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示方案数。

数据范围

n ≤ 15，m ≤ 3000

输入样例：

3 10
1
2
5

输出样例：

10
来源：https://www.acwing.com/problem/content/description/1023/

2. 思路分析：

分析题目可以知道我们需要选择一些面值的货币，使得这些货币最终恰好能够组成面值为m的货币，求解能够恰好组成面值为m的方案数目；每种面值的货币都是可以选择无限次的，所以属于经典的完全背包求解方案数目的问题，可以将货币看成是物品，构成面值为m可以看成是背包的容量，与acwing1023买书的题目是一模一样的；完全背包问题属于动态规划中的经典问题，对于动态规划的问题主要有两个步骤：① 状态表示 ② 状态计算；我们一开始可以定义一个二维数组，其中dp[i][j]表示前i个物品中背包容量恰好为j的方案数目，对于背包容量"恰好"的题目我们在初始化的时候是将第一个状态值置为0，例如在一维数组的时候一般是dp[0] = 0；完全背包问题的二维状态转移方程为dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - v]，我们可以将二维数组优化为一维数组，优化的过程其实一个等价变形的过程，可以发现状态转移方程中的dp[i - 1][j]为上一层循环对应的状态值，dp[i][j - v]为当前这一层循环对应的状态值，优化为一维之后为dp[j] += dp[j - v]，一开始进入循环的时候dp[j]属于上一层循环对应的状态值，而dp[j - v]小于j所以在遍历到j之前j - v的状态已经在当前这一层循环计算过了所以为当前这一层循环对应的状态值，所以对于完全背包问题来说直接去掉第一维即可完成等价变形。

3. 代码如下：

if __name__ == '__main__':
    n, m = map(int, input().split())
    dp = [0] * (m + 1)
    dp[0] = 1
    for i in range(n):
        v = int(input())
        # 逆序枚举体积
        for j in range(v, m + 1):
            dp[j] += dp[j - v]
    print(dp[m])

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