在 《数学问题，连接两个点的曲线旋转所成曲面中，面积最小的曲线是什么？》 里 的 讨论

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网友  思维机器 在  反相吧  发了一个 帖 《数学问题，连接两个点的曲线旋转所成曲面中，面积最小的曲线是什么？》   https://tieba.baidu.com/p/7543575658   。

回复 10 楼，   简单的情况，    A B 点 的 y 坐标相同，  那么，   最小面积 解 出现在  AB 线段（一字型） 和 轴为 x 轴 的 工字形 之间，    也就是 线段 AB 和 折线 ACDB  之间  。

AB 间 距离 记为 AB， AC 长度 记为 R，  EC 长度 记为 r，  可以证明， 只要满足  AB > R - r ，  折线 AEFB 的 旋转面积 总可以 小于 线段 AB 的 旋转面积 。  也就是说， 无论 AB 间 的  距离 多小，   总是 可以有 折线  AEFB  旋转的面积 比  线段 AB 旋转 的 面积小 。 

还可以 证明，   当  r = R  -  AB / 2   时，   折线  AEFB 的 旋转面积 取 极值点（极小值），   AEFB 旋转面积 最小  。

显然，  当  r > 0  时，  E  在  AC 上 ；  当  r = 0  时 ，   E 和 C 重合，   EF 和 CD 重合；    当  r < 0  时，    E 在 AC 的 延长线 上，  这种情况 实际中 也就是 EF 和 CD 重合 ，  此时  AEFB 旋转面积 虽然 不是 极小值，  但是是 最小值  。

第一个 证明 是一个 一元一次不等式，   第二个证明 是 二次函数 求 极值，  不等式 和 二次函数 都是 根据 AEFB 旋转面积 公式 列的，  过程 就不写上来了  。

以上说明，   在  AC 上 存在 一点 E，  E 不和 A 重合，    使得 折线 AEFB 的 旋转面积 最小 。

这是  折线 的 最小解，     曲线 的 最小解 可能 比 折线 的 最小解 大 或 小 或 相等，    这个 是 不确定 的，     需要  数学 上 证明  。

但 从 折线 可以 看到 一些 趋势，    比如  曲线 的 最小解  也 可能 只有 一个  。

当 AB 间 距离 不太大 时，   在  AC 里 存在  E 点 ，  是 折线 AEFB 旋转面积 的 极值点 （极小值），  当  AB 间 距离 比较大时，  极值点 在 AC 的 延长线 上， 即 EF 和 CD 重合 时，   AEFB 的 旋转面积 最小 。

这两个 证明 都是  一元二次不等式 和 一元二次方程，   第二个 证明 极值点 用到 求导数，   过程 就不写上来了  。

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