859. Kruskal算法求最小生成树

本文主要是介绍859. Kruskal算法求最小生成树，对大家解决编程问题具有一定的参考价值，需要的程序猿们随着小编来一起学习吧！

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一、Kruskal算法

⭐️ 1、基本思路：

（1） 将所有边按权重从小到大排序

（2） 枚举每条边 \(a \sim b\) ,权重是\(c\)
if \(a\),\(b\)不在一个集合中 ：
将这条边加入集合中
结束

⭐️ 2、克鲁斯卡尔算法的基本思想是以边为主导地位，普利姆算法是以点为主导的地位的。

⭐️ 3、prim算法适合稠密图，kruskal算法适合稀疏图。
理由也挺简单的，Kruskal是按边存的，边少就合适，边多就不适合。稀疏图当然边少，稠密图是点少，但边多，边可能达到节点数的平方，即每个节点都与其它节点有边。

模拟一下:

假如有以下几个城市，之间都有相连的道路：

根据kruskal的原理，我们需要对边权dis进行排序，每次找出最小的边。
排序后，最小的边自然是第8条边，于是4和6相连。

遍历继续，第二小的边是1号，1和2联通。

再后来是边3连接1,4。

dis也是14的还有边5，它连接3,4。

其次是dis为15的边4，但是2和4已经相连了，pass。
然后是dis为16的两条边（边2和边9），边2连接1和3，边9连接3和6，它们都已经间接相连，pass。
再然后就是dis为22的边10，它连接5和6，5还没有加入组织，所以使用这边。继续，发现此时已经连接了n-1条边，结束，最后图示如下：

本题与 https://www.acwing.com/problem/content/839/ 是姊妹题，其实Kruskal算法就是一个并查集的应用。

不像Prim算法，不用考虑边界，考虑循环N次啊，计算最小值啊，还要用堆进行优化啊，这个就是一个并查集，思路简单。

需要回答的问题

Q:只需要简单结构体即可,不需要邻接表或者邻接矩阵来存，为什么呢？
A:之所以使用邻接表或邻接矩阵，其实说白了，是按点存的，记录A点和B点的关系。
用结构体存储，其实是按边存的，就是题目说有一条A-B的边（权为C），我们就存了一个A-B权为C的边。
按点存麻烦（邻接表或邻接矩阵），按边存（结构体数组）简单。

C++ 代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 200010;

int n, m;
int p[N]; //并查集里面的p数组

struct Edge {
    int a, b, w;
    // 需要重载<号，利用w 进行排序
    //这里重载小于号的目的是因为能用<号表示的数据才能够用标准库sort排序
    bool operator<(const Edge &W) const {
        return w < W.w;
    }
} edges[N];

//并查集模板
int find(int x) {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        edges[i] = {a, b, w};
    }
    
    //利用STL进行快速排序
    sort(edges, edges + m);

    //每个人都是自己的祖先
    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;    // 初始化并查集

    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        //从小到大枚举每一条边
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
        //找祖宗
        a = find(a), b = find(b);
        //如果两个节点不连通,判断祖宗节点是不是一样的
        if (a != b) {
            p[a] = b;   //a认b为祖宗,合并两个集合
            res += w;   //最小生成树中所有树边的权重之和
            cnt++;      //加入了多少条边
        }
    }
    //如果加入的边数小于n-1（抽屉原理），说明不连通,连通图也有最小生成树，不连通没有
    if (cnt < n - 1) puts("impossible");
    else printf("%d\n", res);

    return 0;
}

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