矩阵知识小笔记(持续更新)
2021/10/9 23:40:34
本文主要是介绍矩阵知识小笔记(持续更新),对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!
线性方程的解与矩阵的逆
齐次方程
非齐次方程 A x = b \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} Ax=b
如果 A \boldsymbol{A} A 行满秩(即 A A T \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^T AAT 满秩), 有MMSE解 x = A T ( A A T ) − 1 b \boldsymbol{x} = \boldsymbol{A}^T (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^T)^{-1} \boldsymbol{b} x=AT(AAT)−1b,其中 A T ( A A T ) − 1 = A right − 1 \boldsymbol{A}^T (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^T)^{-1} = \boldsymbol{A}^{-1}_{\text{right}} AT(AAT)−1=Aright−1 是 A \boldsymbol{A} A 的右逆(即 A A right − 1 = I \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{-1}_{\text{right}} = \boldsymbol{I} AAright−1=I)。简记:右逆,最小均方误差,行满秩。
如果 A \boldsymbol{A} A 列满秩(即 A T A \boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A} ATA 满秩), 有LS解 x = ( A T A ) − 1 A T b \boldsymbol{x} = (\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A})^{-1} \boldsymbol{A}^T \boldsymbol{b} x=(ATA)−1ATb,其中 ( A T A ) − 1 A T = A left − 1 (\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A})^{-1} \boldsymbol{A}^T = \boldsymbol{A}^{-1}_{\text{left}} (ATA)−1AT=Aleft−1 是 A \boldsymbol{A} A 的左逆(即 A left − 1 A = I \boldsymbol{A}^{-1}_{\text{left}} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{I} Aleft−1A=I)。简记:左逆,最小二乘,列满秩。
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