范德蒙方法解三次方程之 U+V 代数运算笔记

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设 x³ + px + q = 0 的根为 x₁、x₂、x₃。即 (x - x₁)(x - x₂)(x - x₃) = x³ + px + q = 0，展开可得：

x₁ + x₂ + x₃ = 0               ①

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = p    ②

x₁x₂x₃ = -q                     ③

x³ = 1 的三个根 1、ω、ω² 满足 ω³ = 1 和 1 + ω + ω² = 0

于是：

3x₁ = (x₁ + x₂ + x₃) + (x₁ + ωx₂ + ω²x₃) + (x₁ + ω²x₂ + ωx₃)

3x₂ = (x₁ + x₂ + x₃) + ω²(x₁ + ωx₂ + ω²x₃) + ω(x₁ + ω²x₂ + ωx₃)

3x₃ = (x₁ + x₂ + x₃) + ω(x₁ + ωx₂ + ω²x₃) + ω²(x₁ + ω²x₂ + ωx₃)

记 u = x₁ + ωx₂ + ω²x₃，v = x₁ + ω²x₂ + ωx₃，则

3x₁ = u + v

3x₂ = ω²u + ωv

3x₂ = ωu + ω²v

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