杨辉三角开方公式 和 n次方和公式

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我们 的 古人 发现 和 提出了  根据 杨辉三角  开 任意次方 的 方法  。

这个 方法 能否 总结 为 公式 ？

比如，  用 杨辉三角 开 二次方 的 余项 可以 总结 为 公式，  可以 通过 公式 将 试给出的 平方根 剩余 的 值 代入 公式  进行 本次 迭代计算，  并 得到 本次 迭代 后 的 一次余项 系数  。

用 公式 可以 将 每次 的 迭代 对 各同类项 的 操作 归纳，   使得 每次 迭代 对 每一类 项 的 计算 次数 固定，  而 不是 随着 迭代 而 计算次数 递增  。

那么，  对于 开 任意次 方，   能否 总结出 公式，   计算 每次 迭代 时 的 各 余项 系数 ？       将 试给出的 方根 剩余 的 值 代入 公式 即可 得到 各 余项 的 系数  。  当然 ，  对于 开 n 次 方，  大概 要 知道 n - 1 个 余项 系数，   所以，   对于 开 n 次方，  公式 是 多个，  不是 一个，  大概 是 n - 1 个，  每个 对应 一个 余项 系数  。

于是，   

开平方 有 一套 公式，  包含 一个 公式，  对应  一次余项 系数，

开三次方 有 一套 公式，  包含 二个 公式，  对应  一次余项 、二次余项 系数，

开四次方 有 一套 公式，  包含 三个 公式，  对应  一次余项 、二次余项 、三次余项 系数，

……

开 n 次方 有 一套 公式，  包含 n - 1 个 公式，  对应  一次余项 、二次余项 、三次余项 …… n 次余项 系数  。

进一步，   能否 将 这些 公式 归纳为 一套（一个） 公式  ？    这套（这个） 公式 是 高度通用 的，  我们 将 这个 通用公式 称为  公式 - 0，   将 开平方 的 那一套 公式 称为 公式 - 2，  开三次方 的 那一套 公式 称为  公式 - 3，    开四次方 的 那一套 公式 称为  公式 - 4  ……   开 n 次方 的 那一套 公式 称为  公式 - n  。

只要 知道 开 n 次方 的 n ，  代入 公式 - 0，    就知道 公式 - n  。

另外，  归纳 公式 - 0 的 方法 是不是 只有一种 ？  也就是，  是不是 只能用 一种 方式 来 归纳推导 出 公式 - 0，  还是 有  多种 方法 可以 归纳推导 出 公式 - 0  ？

这里 提出 两个 问题 ：

1    能否 归纳 出 高度通用 的 公式 ，   也就是  公式 - 0  ？

2    归纳 公式 - 0 的 方法 是不是 只有一种 ？  如果不是 ，  有多少种 ？   能否 找出 所有 方法 ？

知道 开方 进行到 第 n 次 迭代 时 的 一次余项，   

a ² + b ² + c ² + …… + n ²   可以 总结 为  平方和 公式，  那   a ³ + b ³ + c ² + …… + n ² 

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