acwing 1027 方格取数 算法提高课

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题目大意：

给定一个 \(n * n\) 的数组，从 \((1, 1)\) 走到 \((n, n)\) ， 每次走到当前格子，取走当前格子里的数，当前格子里的数取走后就变成了0。现在\((1, 1)\) 走到 \((n, n)\) 走两次，所能得到的数字之和最大为多少。

思路：

此题是一个动态规划数字三角形模型，但是此题的难点就在于如何处理第一次已经拿走的数。

设 \(f[i1][j1][i2][j2]\) 表示 \((1, 1)\) 分别走到 \((i1, j1) 和(i2, j2)\) 的路径之和最大值。

我们注意到只有当 \(i1 + j1 == i2 + j2\) 时，两条路径才有可能重合，换句话说两条路径重合是 \(i1 + j1 == i2 + j2\) 的充分条件。这样我们就可以把四维的状态转移方程转换成三维的。

则设 \(f[k][i1][i2]\) 表示 \((1, 1)\) 分别走到 \((i1, k - i1)\) 和 \((i2, k - i2)\) 的路径之和最大值。

下面考虑集合划分：

两条向下向右走有四种组合：

第一种：下下 \(f[k][i1][i2] = max(f[k][i1][i2], f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1] + t)\)

第二种：下右 \(f[k][i1][i2] = max(f[k][i1][i2], f[k - 1][i1 - 1][i2] + t)\)

第三种：右下 \(f[k][i1][i2] = max(f[k][i1][i2], f[k - 1][i1][i2 - 1] + t)\)

第四种：右右 \(f[k][i1][i2] = max(f[k][i1][i2], f[k - 1][i1][i2] + t)\)

\(t\) 有两种情况：\((i1, k - i1) 和 (i2, k - i2)\)重合时, \(t = w[i1][j1] + w[i2][j2]\)

​ 反之：\(t = w[i1][j1]\)

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 15;

int n;
int w[N][N];
int f[N * 2][N][N];

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cin >> n;
    int x, y, z;
    while(cin >> x >> y >> z, x || y || z) w[x][y] = z;

    for(int k = 2; k <= n * 2; k++)
        for(int i1 = 1; i1 <= n; i1++)
            for(int i2 = 1; i2 <= n; i2++){
                int j1 = k - i1, j2 = k - i2;
                if (j1 >= 1 && j1 <= n && j2 >= 1 && j2 <= n){
                int t = w[i1][j1];
                if(i1 != i2) t += w[i2][j2];//当前路径不重合
                int &x = f[k][i1][i2];
                x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1] + t);
                x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2] + t);
                x = max(x, f[k - 1][i1][i2 -1] + t);
                x = max(x, f[k - 1][i1][i2] + t);
                }
            } 
    
    cout << f[n + n][n][n] << endl;
    return 0;
}

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