【Prony算法笔记】一种基于综合DFT和Prony算法的谐波与间谐波分析方法

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Prony算法是基于指数函数的线性组合对采样数据进行拟合，其中指数项个数为Prony算法模型的阶数。

设采样数据为x(0),x(1),…,x(N-1)，令：

在上式中，N为采样数据的个数；k为模型阶数，且N≥2k；A_k为振幅；α_k为衰减因子；f_k为频率；φ_k为相位；Δt为采样间隔。

使平方误差：

最小便可以求出{A_k,θ_k,α_k,f_k}，但是，求解这样一个非线性的最小二乘问题是困难的。通常这种求解是一个迭代过程。

下面将通过构造常系数线性差分方程，对参数a_k、z_k进行求解，从而间接求出这4个参数。

(注意a_k与α_k是不同的，后者是衰减因子)

定义多项式(记为4-7-4)：

(在下一个分割线前，k与m将可能给读者造成困惑，我会在下一个分割线出现时说明符号统一)

根据：

可知，表示：

的一种方法是：

用a_m乘上式，然后对p+1个乘积求和，即有：

又因为：

所以：

上式记为4-7-5。式(4-7-5)等于零是因为第二项求和恰好是式(4-7-4)的位于根z_l处的多项式φ(z_l)，而φ(z_l)=0。式(4-7-5)意味着式

满足递推的差分方程式：

【为了符号统一，在下面的内容中将用k替换上述差分方程式的m】如下：

采样数据x(n)与拟合值xˆ(n)的误差为e(n)，如式(6)所示：

通过合并式(5)与式(6)，【我并不懂是怎么合并的】，得到信号x(n)为：

将x(n)看作为误差u(n)激励一个P阶自回归模型产生的输出，求解该模型的正则方程可得参数a_k，将a_k代入式(8)：

并对多项式求根，可以求出参数z_k。

下面再次列出式1：

根据式(1)可以得出矩阵方程：

其中：

式9是一个矩阵方程，其最小二乘解b_k如式11：

根据求出的z_k、b_k可得：

参考文献：
[1]郭成,尹轲,张艳萍,段锐敏.一种基于综合DFT和Prony算法的谐波与间谐波分析方法[J].电力系统保护与控制,2021,49(17):1-9.
[2]《现代信号处理》-张贤达-清华大学出版社

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