Tricks

2021/11/11 23:14:39

编程Tag： 序列 sum 平均数当且 binom Tricks 3i

本文主要是介绍Tricks，对大家解决编程问题具有一定的参考价值，需要的程序猿们随着小编来一起学习吧！

$a$ 的平均数为 $m$ 等价于 $\sum a_i-m=0$。可以配合其他算法处理一些平均数的最优解问题。

例：问平均数处于 $[p,q)$ 的区间数。

相当于需要处理平均数小于 $p$ 的数量然后减一下即可。$b_i=a_i-p$，然后做前缀和 $s_i=\sum_{j=1}^{i} b_i$，相当于求有多少 $i<j$ 且 s_i>s_j$，是经典逆序对。

例：序列切成 $k$ 段，最大化平均数的最小值。

Binary Search 然后转化为 $s_i=\sum_{j=1}^{i}a_i-p$ 的一个上升子序列问题。

一些序列操作的结论

对于连续三个数，中间取反，两边的加上这个数。

$A$ 可以到达 $B$ 当且仅当两者的前缀和集合相同

相邻数一个加一一个减一

$A$ 可以到达 $B$ 当且仅当和相等。

处理组合数可以想一下能否用生成函数得到简单的解。

CF1548C 求所有 $f_x=\sum_{i=1}^{n}\binom{3i}{x}$。

\[f_x=\sum_{i=1}^{n}\binom{3i}{x}=[x^i]\sum_{i=1}^{n}(1+x)^{3i}=[x^i]\frac{(1+x)^{3n+3}-(1+x)^3}{(1+x)^3-1} \]

直接手动乘除即可。

如果感觉一些东西存在两种复杂度的解，可以尝试根号分治

二进制相关的问题，考虑一些变化是不是发生的不多。

例一个数不断 and 或者 or 上很多数，最多变化 $O(\log n)$ 次。

树上有关距离的计数问题，可以考虑跨过的点，或者考虑中点

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