p5 Error的来源

2021/11/19 23:11:06

本文主要是介绍p5 Error的来源,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!

p5 Error的来源

img 从上节课测试集数据来看,Average\ ErrorAverage Error 随着模型复杂增加呈指数上升趋势。更复杂的模型并不能给测试集带来更好的效果,而这些 ErrorError 的主要有两个来源,分别是 biasbias 和 variancevariance 。

然而 biasbias 和 variancevariance 是什么?可以查看 机器学习中的Bias(偏差),Error(误差),和Variance(方差)有什么区别和联系?

估测

假设真实的模型为 \hat ff^ , 如果我们知道 \hat ff^ 模型,那是最好不过了,但是 \hat ff^ 只有 Niamtic 公司才知道。

img

所以我们只能通过收集 Pokemon精灵 的数据,然后通过 step1~step3 训练得到我们的理想模型 f*f∗,f*f∗ 其实是 \hat ff^ 的一个预估。

img

这个过程就像打靶,\hat ff^ 就是我们的靶心,f^*f∗ 就是我们投掷的结果。如上图所示,\hat ff^ 与 f^*f∗ 之间蓝色部分的差距就是偏差和方差导致的。

估测变量x的偏差和方差

我们先理解一下偏差和方差是怎样计算的呢? 偏差(Bias)和方差(Variance)——机器学习中的模型选择

评估x的偏差

  • 假设 xx 的平均值是 \muμ,方差为 \sigma^2σ2

评估平均值要怎么做呢?

  • 首先拿到 NN 个样本点:{x1,x2,···,x^N}{x1,x2,⋅⋅⋅,xN}
  • 计算平均值 mm, 得到 m=\frac{1}{N}\sum_n x^n \neq \mum=N1∑nxn=μ

img

但是如果计算很多组的 mm ,然后求 mm 的期望:

E[m]=E[\frac{1}{N}\sum xn]=\frac{1}{N}\sum_nE[xn]=\muE[m]=E[N1∑xn]=N1n∑E[xn]=μ

这个估计呢是无偏估计(unbiased)。

然后 mm 分布对于 \muμ 的离散程度(方差):

Var[m]=\frac{\sigma^2}{N}Var[m]=Nσ2

这个取决于 NN,下图看出 NN 越小越离散:

img

估测变量x的方差

如何估算方差呢?

img

img

为什么会有很多的模型?

讨论系列02中的案例:这里假设是在平行宇宙中,抓了不同的神奇宝贝

img

用同一个model,在不同的训练集中找到的 f^∗f∗ 就是不一样的

img

这就像在靶心上射击,进行了很多组(一组多次)。现在需要知道它的散布是怎样的,将100个宇宙中的model画出来

img

不同的数据集之前什么都有可能发生—||

考虑不同模型的方差

一次模型的方差就比较小的,也就是是比较集中,离散程度较小。而5次模型的方差就比较大,同理散布比较广,离散程度较大。

所以用比较简单的模型,方差是比较小的(就像射击的时候每次的时候,每次射击的设置都集中在一个比较小的区域内)。如果用了复杂的模型,方差就很大,散布比较开。

这也是因为简单的模型受到不同训练集的影响是比较小的。

考虑不同模型的偏差

img

这里没办法知道真正的 \hat{f}f^,所以假设图中的那条黑色曲线为真正的 \hat{f}f^

结果可视化,一次平均的 \bar{f}fˉ 没有5次的好,虽然5次的整体结果离散程度很高。

一次模型的偏差比较大,而复杂的5次模型,偏差就比较小。

直观的解释:简单的模型函数集的space比较小,所以可能space里面就没有包含靶心,肯定射不中。而复杂的模型函数集的space比较大,可能就包含的靶心,只是没有办法找到确切的靶心在哪,但足够多的,就可能得到真正的 f¯f¯。

偏差v.s.方差

img

将系列02中的误差拆分为偏差和方差。简单模型(左边)是偏差比较大造成的误差,这种情况叫做欠拟合,而复杂模型(右边)是方差过大造成的误差,这种情况叫做过拟合。

怎么判断?

分析

img

如果模型没有很好的训练训练集,就是偏差过大,也就是欠拟合 如果模型很好的训练训练集,即再训练集上得到很小的错误,但在测试集上得到大的错误,这意味着模型可能是方差比较大,就是过拟合。 对于欠拟合和过拟合,是用不同的方式来处理的

偏差大-欠拟合

此时应该重新设计模型。因为之前的函数集里面可能根本没有包含f^*f∗。可以:

将更多的函数加进去,比如考虑高度重量,或者HP值等等。 或者考虑更多次幂、更复杂的模型。 如果此时强行再收集更多的data去训练,这是没有什么帮助的,因为设计的函数集本身就不好,再找更多的训练集也不会更好。

方差大-过拟合

简单粗暴的方法:更多的数据

img

但是很多时候不一定能做到收集更多的data。可以针对对问题的理解对数据集做调整。比如识别手写数字的时候,偏转角度的数据集不够,那就将正常的数据集左转15度,右转15度,类似这样的处理。

模型选择

现在在偏差和方差之间就需要一个权衡 想选择的模型,可以平衡偏差和方差产生的错误,使得总错误最小 但是下面这件事最好不要做:

img

用训练集训练不同的模型,然后在测试集上比较错误,模型3的错误比较小,就认为模型3好。但实际上这只是你手上的测试集,真正完整的测试集并没有。比如在已有的测试集上错误是0.5,但有条件收集到更多的测试集后通常得到的错误都是大于0.5的。

交叉验证

img

图中public的测试集是已有的,private是没有的,不知道的。交叉验证 就是将训练集再分为两部分,一部分作为训练集,一部分作为验证集。用训练集训练模型,然后再验证集上比较,确实出最好的模型之后(比如模型3),再用全部的训练集训练模型3,然后再用public的测试集进行测试,此时一般得到的错误都是大一些的。不过此时会比较想再回去调一下参数,调整模型,让在public的测试集上更好,但不太推荐这样。(心里难受啊,大学数模的时候就回去调,来回痛苦折腾)

上述方法可能会担心将训练集拆分的时候分的效果比较差怎么办,可以用下面的方法。

N-折交叉验证

将训练集分成N份,比如分成3份。

img

比如在三份中训练结果Average错误是模型1最好,再用全部训练集训练模型1。

p6 什么是梯度下降法?

在第二篇文章中有介绍到梯度下降法的做法,传送门:机器学习入门系列02,Regression 回归:案例研究

Review: 梯度下降法

在回归问题的第三步中,需要解决下面的最优化问题:

\theta^∗= \underset{ \theta }{\operatorname{arg\ min}} L(\theta) \tag1θ∗=θarg minL(θ)(1)

  • LL :lossfunction(损失函数)
  • \thetaθ :parameters(参数)

这里的parameters是复数,即 \thetaθ 指代一堆参数,比如上篇说到的 ww 和 bb 。

我们要找一组参数 \thetaθ ,让损失函数越小越好,这个问题可以用梯度下降法解决:

假设 \thetaθ 有里面有两个参数 \theta_1, \theta_2θ1,θ2 随机选取初始值

\theta^0 = \begin{bmatrix} \theta_1^0 \ \theta_2^0 \end{bmatrix} \tag2θ0=θ10θ20

这里可能某个平台不支持矩阵输入,看下图就好。

img

然后分别计算初始点处,两个参数对 LL 的偏微分,然后 \theta^0θ0 减掉 \etaη 乘上偏微分的值,得到一组新的参数。同理反复进行这样的计算。黄色部分为简洁的写法,\triangledown L(\theta)▽L(θ) 即为梯度。

\etaη 叫做Learning rates(学习速率)

img

上图举例将梯度下降法的计算过程进行可视化。

Tip1:调整学习速率

小心翼翼地调整学习率

举例:

img

上图左边黑色为损失函数的曲线,假设从左边最高点开始,如果学习率调整的刚刚好,比如红色的线,就能顺利找到最低点。如果学习率调整的太小,比如蓝色的线,就会走的太慢,虽然这种情况给足够多的时间也可以找到最低点,实际情况可能会等不及出结果。如果 学习率调整的有点大,比如绿色的线,就会在上面震荡,走不下去,永远无法到达最低点。还有可能非常大,比如黄色的线,直接就飞出去了,更新参数的时候只会发现损失函数越更新越大。

虽然这样的可视化可以很直观观察,但可视化也只是能在参数是一维或者二维的时候进行,更高维的情况已经无法可视化了。

解决方法就是上图右边的方案,将参数改变对损失函数的影响进行可视化。比如学习率太小(蓝色的线),损失函数下降的非常慢;学习率太大(绿色的线),损失函数下降很快,但马上就卡住不下降了;学习率特别大(黄色的线),损失函数就飞出去了;红色的就是差不多刚好,可以得到一个好的结果。

自适应学习率

举一个简单的思想:随着次数的增加,通过一些因子来减少学习率

  • 通常刚开始,初始点会距离最低点比较远,所以使用大一点的学习率
  • update好几次参数之后呢,比较靠近最低点了,此时减少学习率
  • 比如 \eta^t =\frac{\eta^t}{\sqrt{t+1}}ηt=t+1ηt,tt 是次数。随着次数的增加,\eta^tηt 减小

学习率不能是一个值通用所有特征,不同的参数需要不同的学习率

Adagrad 算法

Adagrad 是什么?

每个参数的学习率都把它除上之前微分的均方根。解释:

普通的梯度下降为:

w^{t+1} \leftarrow w^t -ηtgt \tag3wt+1←wt−ηtgt(3)\eta^t =\frac{\eta^t}{\sqrt{t+1}} \tag4ηt=t+1ηt(4)

  • ww 是一个参数

Adagrad 可以做的更好:

w^{t+1} \leftarrow w^t -\frac{ηt}{\sigmat}g^t \tag5wt+1←wt−σtηtgt(5)g^t =\frac{\partial L(\theta^t)}{\partial w} \tag6gt=∂w∂L(θt)(6)

  • \sigma^tσt :之前参数的所有微分的均方根,对于每个参数都是不一样的。

Adagrad举例

下图是一个参数的更新过程

img

将 Adagrad 的式子进行化简: img

Adagrad 存在的矛盾?

img

在 Adagrad 中,当梯度越大的时候,步伐应该越大,但下面分母又导致当梯度越大的时候,步伐会越小。

下图是一个直观的解释:

img

下面给一个正式的解释:

img

比如初始点在 x_0x0,最低点为 −\frac{b}{2a}−2ab,最佳的步伐就是 x0x0 到最低点之间的距离 \left | x_0+\frac{b}{2a} \right |∣∣∣x0+2ab∣∣∣,也可以写成 \left | \frac{2ax_0+b}{2a} \right |∣∣∣2a2ax0+b∣∣∣。而刚好 |2ax_0+b|∣2ax0+b∣ 就是方程绝对值在 x_0x0 这一点的微分。

这样可以认为如果算出来的微分越大,则距离最低点越远。而且最好的步伐和微分的大小成正比。所以如果踏出去的步伐和微分成正比,它可能是比较好的。

结论1-1:梯度越大,就跟最低点的距离越远。

这个结论在多个参数的时候就不一定成立了。

多参数下结论不一定成立

对比不同的参数

img

上图左边是两个参数的损失函数,颜色代表损失函数的值。如果只考虑参数 w_1w1,就像图中蓝色的线,得到右边上图结果;如果只考虑参数 w_2w2,就像图中绿色的线,得到右边下图的结果。确实对于 aa 和 bb,结论1-1是成立的,同理 cc 和 bb 也成立。但是如果对比aa 和 cc,就不成立了,cc 比 aa 大,但 cc 距离最低点是比较近的。

所以结论1-1是在没有考虑跨参数对比的情况下,才能成立的。所以还不完善。

之前说到的最佳距离 \left | \frac{2ax_0+b}{2a} \right |∣∣∣2a2ax0+b∣∣∣,还有个分母 2a2a 。对function进行二次微分刚好可以得到:

\frac{\partial ^2y}{\partial x^2} = 2a \tag7∂x2∂2y=2a(7)

所以最好的步伐应该是:

\frac{一次微分}{二次微分}二次微分一次微分

即不止和一次微分成正比,还和二次微分成反比。最好的step应该考虑到二次微分:

img

Adagrad 进一步的解释

再回到之前的 Adagrad

img

对于 \sqrt{\sum_{i=0}t(gi)^2}∑i=0t(gi)2 就是希望再尽可能不增加过多运算的情况下模拟二次微分。(如果计算二次微分,在实际情况中可能会增加很多的时间消耗)

Tip2:随机梯度下降法

之前的梯度下降:

L=\sum_n(\hat y^n-(b+\sum w_ix_in))2 \tag8L=n∑(yn−(b+∑wixin))2(8)\thetai =\theta^{i-1}- \eta\triangledown L(\theta^{i-1}) \tag9θi=θi−1−η▽L(θi−1)(9)

而随机梯度下降法更快:

损失函数不需要处理训练集所有的数据,选取一个例子 x^nxn

L=(\hat y^n-(b+\sum w_ix_in))2 \tag{10}L=(yn−(b+∑wixin))2(10)\thetai =\theta^{i-1}- \eta\triangledown Ln(\theta{i-1}) \tag{11}θi=θi−1−η▽Ln(θi−1)(11)

此时不需要像之前那样对所有的数据进行处理,只需要计算某一个例子的损失函数Ln,就可以赶紧update 梯度。

对比:

img

常规梯度下降法走一步要处理到所有二十个例子,但随机算法此时已经走了二十步(每处理一个例子就更新)

Tip3:特征缩放

比如有个函数:

y=b+w_1x_1+w_2x_2 \tag{12}y=b+w1x1+w2x2(12)

两个输入的分布的范围很不一样,建议把他们的范围缩放,使得不同输入的范围是一样的。

img

为什么要这样做?

img

上图左边是 x_1x1 的scale比 x_2x2 要小很多,所以当 w_1w1 和 w_2w2 做同样的变化时,w_1w1 对 yy 的变化影响是比较小的,x_2x2 对 yy 的变化影响是比较大的。

坐标系中是两个参数的error surface(现在考虑左边蓝色),因为 w_1w1 对 yy 的变化影响比较小,所以 w_1w1 对损失函数的影响比较小,w_1w1 对损失函数有比较小的微分,所以 w_1w1 方向上是比较平滑的。同理 x_2x2 对 yy 的影响比较大,所以 x_2x2 对损失函数的影响比较大,所以在 x_2x2 方向有比较尖的峡谷。

上图右边是两个参数scaling比较接近,右边的绿色图就比较接近圆形。

对于左边的情况,上面讲过这种狭长的情形不过不用Adagrad的话是比较难处理的,两个方向上需要不同的学习率,同一组学习率会搞不定它。而右边情形更新参数就会变得比较容易。左边的梯度下降并不是向着最低点方向走的,而是顺着等高线切线法线方向走的。但绿色就可以向着圆心(最低点)走,这样做参数更新也是比较有效率。

怎么做缩放?

方法非常多,这里举例一种常见的做法:

img

上图每一列都是一个例子,里面都有一组特征。

对每一个维度 ii(绿色框)都计算平均数,记做 m_imi;还要计算标准差,记做 \sigma _iσi。

然后用第 rr 个例子中的第 ii 个输入,减掉平均数 m_imi,然后除以标准差 \sigma _iσi,得到的结果是所有的维数都是 00,所有的方差都是 11

梯度下降的理论基础

问题

当用梯度下降解决问题:

\theta^∗= \underset{ \theta }{\operatorname{arg\ min}} L(\theta) \tag1θ∗=θarg minL(θ)(1)

每次更新参数 \thetaθ,都得到一个新的 \thetaθ,它都使得损失函数更小。即:

L(\theta^0) >L(\theta1)>L(\theta2)>···\tag{13}L(θ0)>L(θ1)>L(θ2)>⋅⋅⋅(13)

上述结论正确吗?

结论是不正确的。。。

数学理论

img

比如在 \theta^0θ0 处,可以在一个小范围的圆圈内找到损失函数细小的 \theta^1θ1,不断的这样去寻找。

接下来就是如果在小圆圈内快速的找到最小值?

泰勒展开式

先介绍一下泰勒展开式

定义

若 h(x)h(x) 在 x=x_0x=x0 点的某个领域内有无限阶导数(即无限可微分,infinitely differentiable),那么在此领域内有:

\begin{aligned} h(x) &= \sum_{k=0}^{\infty }\frac{hk(x_0)}{k!}(x-x_0)k \ & =h(x_0)+{h}’(x_0)(x−x_0)+\frac{h’’(x_0)}{2!}(x−x_0)^2+⋯ \tag{14} \end{aligned}h(x)=k=0∑∞k!hk(x0)(x−x0)k=h(x0)+h′(x0)(x−x0)+2!h′′(x0)(x−x0)2+⋯(14)

当 xx 很接近 x_0x0 时,有 h(x)≈h(x_0)+{h}’(x_0)(x−x_0)h(x)≈h(x0)+h′(x0)(x−x0) 式14 就是函数 h(x)h(x) 在 x=x_0x=x0 点附近关于 xx 的幂函数展开式,也叫泰勒展开式。

举例:

img

图中3条蓝色线是把前3项作图,橙色线是 sin(x)sin(x)。

多变量泰勒展开式

下面是两个变量的泰勒展开式

img

利用泰勒展开式简化

回到之前如何快速在圆圈内找到最小值。基于泰勒展开式,在 (a,b)(a,b) 点的红色圆圈范围内,可以将损失函数用泰勒展开式进行简化:

img

将问题进而简化为下图:

img

不考虑s的话,可以看出剩下的部分就是两个向量(\triangle \theta_1,\triangle \theta_2)(△θ1,△θ2) 和 (u,v)(u,v) 的内积,那怎样让它最小,就是和向量 (u,v)(u,v) 方向相反的向量

img

然后将u和v带入。

img

L(\theta)\approx s+u(\theta_1 - a)+v(\theta_2 - b) \tag{14}L(θ)≈s+u(θ1−a)+v(θ2−b)(14)

发现最后的式子就是梯度下降的式子。但这里用这种方法找到这个式子有个前提,泰勒展开式给的损失函数的估算值是要足够精确的,而这需要红色的圈圈足够小(也就是学习率足够小)来保证。所以理论上每次更新参数都想要损失函数减小的话,即保证式1-2 成立的话,就需要学习率足够足够小才可以。

所以实际中,当更新参数的时候,如果学习率没有设好,是有可能式1-2是不成立的,所以导致做梯度下降的时候,损失函数没有越来越小。

式1-2只考虑了泰勒展开式的一次项,如果考虑到二次项(比如牛顿法),在实际中不是特别好,会涉及到二次微分等,多很多的运算,性价比不好。

梯度下降的限制

img

容易陷入局部极值 还有可能卡在不是极值,但微分值是0的地方 还有可能实际中只是当微分值小于某一个数值就停下来了,但这里只是比较平缓,并不是极值点

p7 Gradient Descent (Demo by AOE)

  • 利用帝国时代的方式模拟梯度下降

  • 在地图上大多数位置我们是未知的,只有我们单位走过的地方是可知;

  • 地图上的海拔可以看作损失函数loss function,我们的目的就是寻找海拔的最低点的值;

  • 随机初始一个位置,朝向较低的方向移动,周而复始,直到local minimal(在不开天眼的情况下,你始终不会知晓所在位置是否为global minimal)。

部极值 还有可能卡在不是极值,但微分值是0的地方 还有可能实际中只是当微分值小于某一个数值就停下来了,但这里只是比较平缓,并不是极值点

p7 Gradient Descent (Demo by AOE)

  • 利用帝国时代的方式模拟梯度下降

  • 在地图上大多数位置我们是未知的,只有我们单位走过的地方是可知;

  • 地图上的海拔可以看作损失函数loss function,我们的目的就是寻找海拔的最低点的值;

  • 随机初始一个位置,朝向较低的方向移动,周而复始,直到local minimal(在不开天眼的情况下,你始终不会知晓所在位置是否为global minimal)。



这篇关于p5 Error的来源的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对大家有所帮助,也希望大家多多支持为之网!


扫一扫关注最新编程教程