《算术教程》笔记4

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二次型
令\(V\)是交换环\(K\)上的模，如果函数\(Q: V \to K\)满足

1. 对任意\(a\in K, v \in V\)，都有\(Q(ax) = a^2 Q(x)\)
2. \(Q(x+y) - Q(x) - Q(y)\)是双线性形式。

那么\((V,Q)\)就称为\(K\)上的二次型。本章中，我们设\(K\)为特征不为2的域，因此我们可以定义两个向量\(x,y \in V\)的内积为

可以发现\(x. y = y. x\)且\(Q(x) = x. x\)（如果特征为2则不成立）。如果\(x. y =0\)则称\(x,y\)正交，与一个集合\(H\)正交的子空间记为\(H^ \perp\)。\(V^ \perp\)称为二次型的根，它的余维数称为二次型\((V, Q)\)的秩，如果\(V^ \perp = 0\)我们就称\((V, Q)\)是非退化二次型。

等价、直和与表示
通过内积，我们还可以将二次型写成矩阵形式：令\(A_{ij} = e_i . e_j\)，则\(A\)是对称矩阵且\(Q(x) = x^\top A x\)。\(A\)的行列式也称\(Q\)的行列式。对于非退化二次型，\(A\)是可逆矩阵。两个二次型\(\psi, \phi\)如果满足\(\phi(x) = \psi(Cx)\)则称\(\phi, \psi\)等价，记为\(\phi \sim \psi\)。显然此时\(A_\phi = C^\top A_\psi C\)。

令\((Q, V)\)和\((Q', V')\)是\(K\)上两个二次型，我们定义两个新的二次型\(V \oplus V' \to K\)，称为\(V, V'\)的直和：

如果存在\(x\neq 0 \in V\)满足\(Q(x) = a\)，就称\(Q\)表示\(a\)。对于非退化的\(Q(X_1, \dots , X_{n})\)，我们有以下3个等价命题：

1. \(Q\)表示\(a\)。
2. \(Q \sim H \oplus ax^2\)，其中\(H\)是秩为\(n-1\)的二次型。
3. \(Q \ominus ax^2\)表示0。

这个等价命题有助于使用归纳法证明二次型的性质。

有限域上的二次型
\(F_q\)上秩为n的非退化二次型是以下2种形式之一

• \(x_1^2 + \cdots + x_{n-1}^2 + x_n^2\)
• \(x_1^2 + \cdots + x_{n-1}^2 + ax_n^2\)
  其中\(a\)是\(F_q\)中非平方的元素。

要证明这一点，我们令

我们只需证明\(Q_r \sim Q_s\)当且仅当\(r = s \mod 2\)。

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