f(x) = sin(ωx + π/6) 在 (0, 2] 上有唯一的最大值和最小值。求 ω 的取值范围.

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f(x) = sin(ωx + π/6) 在 (0, 2] 上有唯一的最大值和最小值。求 ω 的取值范围.

解：当 ω = 0 时，f(x) = sin(π/6) = 1/2，显然不满足题设要求. 记 θ = ωx + π/6.

结合下图所示的正弦曲线分情形考虑：

(I). ω > 0 的情形

题设的等价条件即为：sin θ 在区间 (π/6, π/6 + 2ω] 上有唯一的最小值和最大值.

图中点 A 的横坐标为 π/6，点 B、C、D、E 的横坐标分别为 π/2、5π/6、3π/2、5π/2；点 F、G、H、I 的横坐标分别为 -π/2、-7π/6、-3π/2、-5π/2. 

sin θ 在区间 (π/6, π/6 + 2ω] 上的曲线可以形象地对应成一个动点 P 从点 A 向右沿着正弦曲线移动过程所经历的轨迹，用 (AP] 标记以点 A 为左端点但不包含点 A 并以点 P 为右端点且包含点 P 的正弦曲线片段 AP. 

结合图形易知：

(1). 动点 P 到达点 C 位置时，由 π/6 + 2ω = 5π/6，得 ω = π/3，这时 sin θ 在区间 (π/6, 5π/6] 才开始有最小值，曲线 (AC] 在点 C 取得唯一最小值 1/2，并在点 B 取得唯一最大值 1；

(2). 动点 P 到达点 D 位置时，曲线 (AD] 在点 D 取得唯一最小值 -1，并在点 B 取得唯一最大值 1；

(3). 动点 P 到达点 E 位置时，由 π/6 + 2ω = 5π/2，得 ω = 7π/6，这时 曲线 (AE] 依然在点 D 取得唯一最小值 -1，但在点 B 和点 E 处都取得最大值 1.

至此可知 ω > 0 时，为满足题设要求，ω 的取值范围为 [π/3, 7π/6).

(II). ω < 0 的情形

题设的等价条件即为：sin θ 在区间 [π/6 + 2ω, π/6) 上有唯一的最小值和最大值. 

sin θ 在区间 [π/6 + 2ω, π/6) 上的曲线可以形象地对应成一个动点 Q 从点 A 向左沿着正弦曲线移动过程所经历的轨迹，用 (AQ] 标记以点 A 为右端点但不包含点 A 并以点 Q 为右端点且包含点 Q 的正弦曲线片段 AQ. 

结合图形有：

(1). 动点 Q 到达点 G 位置时，由 π/6 + 2ω = -7π/6，得 ω = -2π/3，这时 sin θ 在区间 [-7π/6, π/6) 才开始有最大值，曲线 (AG] 在点 G 取得唯一最大值 1/2，并在点 F 取得唯一最小值 -1；

(2). 动点 Q 到达点 H 位置时，曲线 (AH] 在点 H 取得唯一最大值 1，并在点 F 取得唯一最小值 -1；

(3). 动点 Q 到达点 I 位置时，由 π/6 + 2ω = -5π/2，得 ω = -4π/3，这时 曲线 (AI] 依然在点 H 取得唯一最大值 1，但在点 F 和点 I 处都取得最小值 -1.

至此可知 ω < 0 时，为满足题设要求，ω 的取值范围为 (-4π/3, -2π/3].

综上，ω 的取值范围为 (-4π/3, -2π/3] ∪ [π/3, 7π/6).

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