2019年第十届蓝桥杯 - 省赛 - C/C++大学B组 - I. 后缀表达式

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题目链接：https://www.lanqiao.cn/courses/2786/learning/?id=67814

Ideas

简单回顾一下前缀、中缀、后缀表达式
前缀表达式：前缀表达式的运算符位于操作数之前。
前缀表达式计算方法：从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算，并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
前缀表达式举例：(- × + 3 4 5 6) = 29
中缀表达式：正常人类使用的算术表达方式
中缀表达式举例：((3 + 4) × 5 - 6) = 29
后缀表达式：后缀表达式与前缀表达式类似，只是运算符位于操作数之后。
后缀表达式计算方法：从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算，并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
后缀表达式举例：(3 4 + 5 × 6 -) = 29

这道题的意思是给我们几个数以及几个加减号，让我们怎么排列它们的位置可以让后缀表达式的值最大。

假设我们不考虑后缀表达式，就是正常的中缀表达式，那我们应该怎么组合呢？

首先对于题目给定的 N + M + 1 个数，先给它们排个序。

然后我们来分析一下负号的个数影响，举个例子：a₁ < a₂ < a₃ < a₄ < a₅ < a₆。

1. 一个"-"号：(a₁ + a₂ + a₃) - (a₄ + a₅ + a₆)
2. 两个"-"号：(a₁ + a₂ + a₃) - (a₄ + a₅) - a₆
3. 三个"-"号：(a₁ + a₂ + a₃) - a₄ - a₅ - a₆
4. 四个"-"号：(a₁ + a₂） - （a₄ - a₃) - a₅ - a₆
5. 五个"-"号：a₁ - (a₅ - a₂） - （a₄ - a₃) - a₆

我们可以发现一件神奇的事情，上面几个5个式子全部都是相等的，都等价于a₁ + a₂ + a₃ - a₄ - a₅ - a₆。

所以说负号的数量 m ≥ 1 都能转换为 m = 1 的情况，那么我们其实就可以分情况讨论了，① m = 0，② m = 1。

此时，当 m ≥ 1 的时候，问题就转换成了，有 n + m + 1 个数字，我们的负号应该放在哪。

当 m = 0 时：相当于没有负号，所有的数字累加起来就OK了。

当 m ≥ 1 时，等价于 m = 1 时：

1. 如果所有的数都是正数，那么 (a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆) - (a₁) 既是最大的结果
2. 如果所有的数都是负数，那么 (a₆) - (a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅) 既是最大的结果，等价于 (abs(a₁) + abs(a₂) + abs(a₃) + abs(a₄) + abs(a₅)) - abs(a₆)，跟第1种有点类似
3. 如果有正有负，那么 (a₁ + a₂ + a₃) - (a₄ + a₅ + a₆)，其中a₁、a₂、a₃是正数，a₄、a₅、a₆是负数，既是最大的结果，等价于 (a₁ + a₂ + a₃) + abs(a₄) + abs(a₅) + abs(a₆)

我们可以发现，对于a₂到a₅，只需要把它们的绝对值累加起来，而对于a₁和a₆我们再来单独看一下：

1. 如果所有的数都是正数：最后的 a₆ - a₁ 等价于 abs(a₁ - a₆)
2. 如果所有的数都是负数，也是 abs(a₁) - abs(a₆)，等价于 abs(a₁ - a₆)
3. 如果有正有负：是 a₁ + abs(a₆)，等价于 a₁ - a₆，肯定是正数，所以也可以加上绝对值号：abs(a₁ - a₆)

这样我们的结果就统一了。

Code

Python

if __name__ == '__main__':
    n, m = map(int, input().split())
    nums = list(map(int, input().split(' ')))
    if m == 0:
        print(sum(nums))
    else:
        ans = 0
        nums.sort()
        for i in range(1, n + m):
            ans += abs(nums[i])
        ans += abs(nums[0] - nums[-1])
        print(ans)

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