normal + lognormal

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1. matlab命令

正态分布
[ μ , σ ] = n o r m f i t ( x ) \mu, \sigma]=normfit(x) \quad μ,σ]=normfit(x) %数据x来拟合正态分布，get分布参数
[ μ , σ \mu, \sigma μ,σ, , m u C I , s i g m a C I ] = n o r m f i t ( x , α ) ] ,muCI,sigmaCI] = normfit(x,\alpha) ] \quad ,muCI,sigmaCI]=normfit(x,α)] % α \alpha α分位点，默认0.5
p = n o r m c d f ( x , μ , σ ) p=normcdf(x,\mu, \sigma) \quad p=normcdf(x,μ,σ) %CDF得到 p ∈ [ 0 , 1 ] p\in[0,1] p∈[0,1]

对数正态分布
r = l o g n r n d ( m u , s i g m a , s z 1 , . . . , s z N ) r = lognrnd(mu,sigma,sz1,...,szN) r=lognrnd(mu,sigma,sz1,...,szN) %generate随机数
p H a t = l o g n f i t ( x ) pHat = lognfit(x)\quad pHat=lognfit(x) % p H a t ( 1 ) pHat(1) pHat(1) 是参数 μ \mu μ, pHat(2)是参数 σ \sigma σ
[ p H a t , p C I ] = l o g n f i t ( x ) [pHat,pCI] = lognfit(x)\quad [pHat,pCI]=lognfit(x) %数据x，代表横坐标范围
[ p H a t , p C I ] = l o g n f i t ( x , α ) [pHat,pCI] = lognfit(x,\alpha) [pHat,pCI]=lognfit(x,α)

对数正态分布 \textbf{对数正态分布} 对数正态分布
两个parameters： μ , σ ; \mu, \sigma; \quad μ,σ; 也称为 logrithmic的mean, std
均值与方差：m, v

联系：
m = e μ + σ 2 2 m=e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}} m=eμ+2σ2​
v = e 2 μ + σ 2 ( e σ 2 − 1 ) v=e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1) v=e2μ+σ2(eσ2−1)
附录：
(如果已知均值与方差之 m, v，可反推parameters μ , σ \mu, \sigma μ,σ )
μ = ln ⁡ m 2 v + m 2 \mu=\ln \frac{m^2}{\sqrt{v+m^2}} μ=lnv+m2 ​m2​
σ = ln ⁡ v m 2 + 1 \sigma=\sqrt{\ln \frac{v}{m^2}+1} σ=lnm2v​+1 ​

3. 计算
   Assume r.v X~N( μ , σ 2 \mu, \sigma^2 μ,σ2)，可得到CDF中点 ( μ , 0.5 ) (\mu, 0.5) (μ,0.5)，纵坐标代表分位点
   如果希望再假设X~logN
   则assumer.v X~logN( μ , σ \mu, \sigma μ,σ)，%parameters
   3.1
   为了s.t.同一组数据，两种不同分布拟合的0.5分位点重合，有：
   p ( x ≤ m e a n 之 l o g N ) = 0.5 p(x\leq mean之logN)=0.5 p(x≤mean之logN)=0.5
   Φ ( ln ⁡ ( m e a n ) − μ σ ) = 0.5 \Phi(\frac{\ln(mean)-\mu}{\sigma})=0.5 Φ(σln(mean)−μ​)=0.5
   查表，空号内 = 0 =0 =0，即 ln ⁡ ( m e a n ) − μ = 0 { \ln (mean)-\mu=0} ln(mean)−μ=0，得到待求参数$\mu= \ln (mean)$ `>
   3.2
   标准差之 s i g m a sigma sigma=定义初始值，再改变即可

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