拟合算法及Matlab求解——对数据寻求一个最简易的函数(曲线)

本文主要是介绍拟合算法及Matlab求解——对数据寻求一个最简易的函数(曲线)，对大家解决编程问题具有一定的参考价值，需要的程序猿们随着小编来一起学习吧！

与插值不同，在拟合问题中不需要曲线一定经过给定的点。拟合问题的目标是寻求一个函数（曲线），使得该曲线在某种准则下与所有的数据点最为接近，即曲线拟合的最好（最小化损失函数）。

目录

一、插值和拟合的区别

二、最小二乘法的解释及求解

三、如何评价拟合的好坏

四、“线性函数”的介绍

一、插值和拟合的区别

        插值算法中，得到的多项式 f(x) 要经过所有样本点。但如果样本点太多，那么这个多项式次数过高，会造成龙格现象。
        虽然我们可以选择分段的方法避免这种现象，但更多时候我们倾向于得到一个确定的曲线，尽管这条曲线不能经过每一个样本点，但只要保证误差足够小即可，这就是拟合的思想。（拟合的结果是得到一个确定的曲线）

举个例子
假设拟合曲线为 y = kx+b .此时拟合即求解：k 和 b 取何值时，样本点和拟合曲线最接近。
那怎么样定义“最接近”呢？最小二乘法！

二、最小二乘法的解释及求解

第一种定义：  
第二种定义：  
由于第一种定义有绝对值，不容易求导，因此计算比较复杂，所以我们往往使用第二种定义，这也正是最小二乘的思想。（为什么不用三次方？正负会相抵）
为什么不用四次方？（1）避免极端数据对拟合曲线的影响；（2）最小二乘法得到的结果和MLE极大似然估计一致。

求解最小二乘法

Matlab求解最小二乘

三、如何评价拟合的好坏

        总体平方和：
        误差平方和：
        回归平方和： 
可以证明得到：SST = SSE + SSR（要用到我们求导得到的两个等式）
则有拟合优度 R^2：
R^2 越接近1，说明误差平方和越接近0，说明拟合的越好。
（注：R^2只能用于拟合函数是线性函数时拟合结果的评价；线性函数和其他函数比较拟合的好坏，直接看SSE即可）
Matlab计算拟合优度：
        

四、“线性函数”的介绍

思考： y = a+bx^2 是线性函数吗？
是的，因为我们这里说的线性函数是指对参数为线性（线性于参数）
对于“线性”的解释有两种：
①对变量为线性
        对线性的第一种并且也许是更“自然”的一种解释是，Y的条件期望值是 的线性函数。按照这种解释，诸如 E(Y|) =  +  的回归系数，由于变量X以幂或指数2出现，就不是线性的。
②对参数为线性
        对线性的第二种解释是，Y的期望 E(Y|) 是参数β的一个线性函数；它可以是或不是变量X的线性函数。对于这种解释，E(Y|) =  +  就是一个线性（于参数）回归模型。为了看出这一点，让我们假设X的值为3，因此 E(Y|X=3) = β + 9 ，显然它是β1和β2的线性函数。

 如何判断线性于参数的函数？
        在函数中，参数仅以一次方出现，且不能乘以或除以其他任何的参数，并且不能出现参数的复合函数形式。
        因此，y=a+x 、y=a+bcx、y=a(x-b)^2、y=asin(b+cx) 都不是线性函数，不能用R^2。

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