P8108 [Cnoi2021]绀珠传说 解题报告

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P8108 [Cnoi2021]绀珠传说 解题报告：

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题意

给定一个 \(n\times n\) 的网格，用 \(n\) 种颜色染色，每种颜色恰好染 \(n\) 次，保证染色均匀随机。

你每次可以选择底端某一行连续的一个同色段，并将其消除，其上面的颜色都会因为重力掉下去。（感性理解一下）

最小化操作次数。

\(1\leqslant n\leqslant 1000\)。

分析

很有意思的题。

考虑每次消除的时候，将相邻的格子连边，考察它在游戏开始前的形态：

我们发现只有相邻的列之间有连边，且连边一定是不交的；反之，如果连边满足前面的约束，一定存在一种消除方式使得连边的格子在一次操作内被消除。

那么我们需要最大化连边数量，而由于第一条性质，不同列的连边之间互不影响，于是我们只用考虑两列之间的连边。

我们将边 \((i,a)-(i+1,b)\) 作为二维平面上的点 \((a,b)\)，可以发现可以共存的边一定两两满足偏序关系，那么直接树状数组扫一遍即可。

由于颜色是均匀随机的，每一列期望的颜色数量是 \(O(1)\) 的，那么总复杂度为 \(O(n^2\log n)\)。

代码

记得不要把行和列写反（

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
const int maxn=1005;
int n,ans;
int a[maxn][maxn],t[maxn],tmp[maxn];
vector<int>v[maxn][maxn];
vector<int>p[maxn];
void update(int x,int v){
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		t[i]=max(t[i],v);
}
int query(int x){
	int res=0;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
		res=max(res,t[i]);
	return res;
}
int main(){
	scanf("%d",&n),ans=n*n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			scanf("%d",&a[i][j]),v[j][a[i][j]].push_back(i);
	for(int i=1;i<n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++)
			for(int a=0;a<v[i][j].size();a++)
				for(int b=0;b<v[i+1][j].size();b++)
					p[v[i][j][a]].push_back(v[i+1][j][b]);
		int res=0;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			for(int k=0;k<p[j].size();k++)
				tmp[k]=query(p[j][k]-1)+1,res=max(res,tmp[k]);
			for(int k=0;k<p[j].size();k++)
				update(p[j][k],tmp[k]);
			p[j].clear();
		}
		ans-=res;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			t[j]=0;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

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