支持向量机（SVM）凸优化与对偶问题求解

2022/2/6 23:42:46

编程Tag： 问题向量 FA 得到 svm 判别对偶

本文主要是介绍支持向量机（SVM）凸优化与对偶问题求解，对大家解决编程问题具有一定的参考价值，需要的程序猿们随着小编来一起学习吧！

一、对偶问题的转化

先写出一个转化对偶问题的一般性结论

原问题：

$s.t.:g_{i}(x)\leq 0$

$h_{i}(x)=0$

转化为的对偶问题是：

$max:\theta (\alpha ,\beta )=\underset{\forall x}{inf}:[f(x)+\sum_{i=1}^{g}\alpha _{i}*g_{i}(x)+\sum_{i=1}^{h}\beta _{i}*h_{i}(x)]$

$s.t.:\alpha _{i}\geq 0$

其中a，b是根据原问题的限制条件产生的新的变量。

二、SVM模型问题转化

原问题：

$min:\frac{1}{2}\left \| w \right \|^{2}+C\sum_{i=1}^{N}\xi _{i}$

$s.t.:y_{i}(w^{T}x_{i}+b)\geq 1-\xi _{i}$

$\xi _{i}\geq 0$

即：

$min:\frac{1}{2}\left \| w \right \|^{2}-C\sum_{i=1}^{N}\xi _{i}$

$s.t.:1+\xi _{i}-y_{i}(w^{T}x_{i}+b)\leq 0$

$\xi _{i}\leq 0$

注意这里待求参数是w，xi，b。

转化为的对偶问题是：

$\tiny max:\theta (\alpha ,\beta )=\underset{\forall w,\xi ,b}{inf}:[\frac{1}{2}\left \| w \right \|^{2}-C\sum_{i=1}^{N}\xi _{i}+\sum_{i=1}^{N}\alpha _{i}*[1+\xi _{i}-y_{i}(w^{T}x_{i}+b)]+\sum_{i=1}^{N}\beta _{i}*\xi _{i}]$

$s.t.:\alpha _{i}\geq 0,\beta_{i}\geq 0$

注意这里实际只有a，b其实还是a只是为了区别不同的限制条件。

先求xita(a,b)，分别对w，xi，b求偏导，再代回，得

$max:\theta (\alpha ,\beta )=\sum_{i=1}^{N}\alpha _{i}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\alpha _{i}\alpha _{j}y_{i}y_{j}x_{i}x_{j}$

$s.t.:0\leq \alpha_{i}\leq C \\ .\quad.\quad.\quad\sum_{i=1}^{N}\alpha _{i}y_{y}=0$

这样的方程求解就比较容易了，书上说用SMO算法。得到所有的a;

大学课上编程实现的好像是梯度下降。。。

对于支持向量机的优化模型来说，原问题与对偶问题同解所以可以这么做，即minf(x)=max xita(a,b)。

三、对样本进行判别求解

1、按正常的逻辑来说，根据得到的a，可以带入求得w，b；从而得到超平面，可以带入判断yi是否大于0进行判别。计算方法如下，直接截图了，公式实在打不动了。

w：

b：

2、但考虑到用核函数时，具体的fa(x)时不知道的，只能得到fa(x1)*fa(x2)=K(x1,x2)这样的结果，所以我们计算不出来W，但可以通过计算w*x来规避这样的问题。

w：

四、总结

最后总结下SVM具体的流程，因为其中很多证明的步骤在运用时时不需要的，这样剩下的就不多了。

第一步：直接求解之前得到的对偶问题就行了，得到a。

第二步，计算得到超平面的偏移量b。

第三步，基于判别条件，带入y（wfa（x）+b）计算得到判别结果。

收官，公式实在太难打了。证明的部分有些我还不是特别理解就没写了，KKT条件那个略懂。

主要参考浙大机器学习那个。

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支持向量机（SVM） 凸优化与对偶问题求解

一、对偶问题的转化

二、SVM模型问题转化

三、对样本进行判别求解

四、总结

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