剑指 Offer 14- I. 剪绳子

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题目：剑指 Offer 14- I. 剪绳子

优质解答1：数学推导（参考自K神）

由题知，\(n=n_1+...+n_m\)，我们要求\(max(n_1\cdot n_2\cdot ... \cdot n_m)\)，由算术几何均值不等式\(\frac{n_1 + n_2+...+n_m}{m}\geq \sqrt[m]{n_1n_2...n_m}\)，等号在\(n_1=n_2=...=n_m\)处取得，所以当绳子均分时得到乘积最大，我们设每段长x，则有\(n=mx\)，乘积为\(x^m\)，令\(y=x^m=x^{\frac{n}{x}}=(x^{\frac{1}{x})^n}\)，求此时的最大值等价于求\(y=x^{\frac{1}{x}}\)的最大值，两边取对数求导，

令\(y'=0\)，可得\(x=e\)，当\(x<e\)时，\(y'>0\)，函数递增；当\(x>e\)时，\(y'<0\)，函数递减，\(x=e\)为极大值点。
因为x要取整数，所以x需要在2和3之间选一个，比较\(2^\frac{1}{2}\)和\(3^\frac{1}{3}\)，同时乘六次方得\(2^3<3^2\)，所以x取3时，函数值更大。
时间：\(O(N)\)
空间：\(O(1)\)

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        # K神源码，时间O(1)，空间O(1)
        if n <= 3: return n - 1
        a, b = n // 3, n % 3
        if b == 0: return int(math.pow(3, a))
        if b == 1: return int(math.pow(3, a - 1) * 4)
        return int(math.pow(3, a) * 2)
        # 参考自郁郁雨
        if n < 4:   return n - 1
        res = 1
        while n > 4:
            res *= 3
            n -= 3
        return res * n

优质解答2：动态规划

设置dp数组保存长度为0~n的最终结果，外循环代表绳子的长度，内循环代表最后一刀截的长度，如果为1则对乘积无影响，所以从2开始，截一刀之后需要看当前长度乘剩下的长度（未切）的乘积与当前长度乘剩下长度（切过）最大值的乘积的大小，然后再与完全不剪dp[i]作比较。

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[2] = 1
        for i in range(3, n + 1):
            for j in range(2, i):
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i-j), j * dp[i-j]))
        return dp[n]

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