SD

本文主要是介绍SD，对大家解决编程问题具有一定的参考价值，需要的程序猿们随着小编来一起学习吧！

D1T1

树形 \(\text{DP}\)。

令 \(f_{u,s,k},(k\in\{0,1\})\) 表示仅考虑以点 \(u\) 为根的子树，固定 \(u\) 的权值为 \(s\)，\(u\) 子树中是否有点的权比 \(u\) 的权大的方案数。

\[\begin{aligned}\\ f_{u,s,0}&=\sum_{v\in\operatorname{son}(u)}\sum_{w\in\operatorname{son}(u),w<v}[(\sum_{i=0}^sf_{v,i,0})\times(\sum_{i=0}^sf_{w,i,0})]\\ \end{aligned}\]

\[f_{u,s,1}=\sum_{v\in\operatorname{son}(u)}\sum_{w\in\operatorname{son}(u),w<v}[(\sum_{i=s}^mf_{v,i,1}+\sum_{i=s+1}^mf_{v,i,0})\times(\sum_{i=s}^mf_{w,i,1}+\sum_{i=s+1}^mf_{w,i,0})] \]

把 \(f_{u,i,k}\) 做个前缀和然后逐个合并，时间复杂度 \(O(nm)\)。

D1T2

朴素的 \(\text{DP}\) 是令 \(f_{i,j}\) 表示当前数列的和为 \(i\)，最后一个数为 \(j\) 的价值和，那么 \(f_{i,j}=c\times f_{i-j,j+1}+f_{i-j,j-1}\)。直接转移，时间和空间复杂度 \(O(n^2)\)。

优化的还没看懂。

UOJ218 【UNR #1】火车管理

我们建一棵以下标为键值的可持久化线段树，维护每个位置的栈顶元素是哪个时刻加入的，然后另维护一棵普通线段树来维护答案，每次区间 push 的时候在可持久化线段树和答案树上分别做一个区间覆盖，同时维护一个 \(Q[t]\) 表示时刻 \(t\) push 进去的元素 \(x\)。

对于单点 pop，首先在可持久化线段树上查询单点的栈顶的加入时刻 \(t\)，然后在 \(t-1\) 时刻的可持久化线段树上查询当时的栈顶加入时刻 \(t'\)，\(Q[t']\) 就是 pop 后栈顶的元素。在两棵线段树上分别单点修改即可。

可持久化线段树都要支持区间改值，可以直接用标记永久化。

时间复杂度 \(O(q\log n)\)。

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