读书笔记 - 看看微积分读本
2022/6/22 23:21:43
本文主要是介绍读书笔记 - 看看微积分读本,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!
书是《普林斯顿微积分读本》,感觉书前面的说明有许多感性的理解和定义,后面的附录才有严谨的证明与定义,这很好啊。
前面两章是必修一的内容,就不写了。
第 3 章 极限导论
注意到极限的大致理解是极端逼近某一个值而非将这个值直接取到,举个栗子:
\[g(x)=\begin{cases}x-1 & x\not=2\\3& x=2\end{cases} \]那么:\(\displaystyle\lim_{x\to2}g(x)=1\)。
左极限为从左向该点逼近的结果,用 \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)\) 表示,右极限类似,那么若 \(\displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x)\not = \lim_{x\to a^+}f(x)\),那么 \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)\ \text{DNE}\)。
举个栗子:考察函数 \(f(x)=\frac 1 x\),显然 \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x)=\infin\),因为 \(x\) 在正数域内越小 \(f(x)\) 越大,大到无穷大,类似的 \(\displaystyle\lim_{x\to 0^-}=-\infin\),所以说 \(\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) \ \text{DNE}\)。
由此我们可以定义垂直渐进线,这个定义比较明确,就摘抄下来了:
\(f\) 在 \(x=a\) 处有一条垂直渐进线,那么 \(\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)\) 和 \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)\) 必然有一个为 \(\infin\) 或 \(-\infin\)。
切忌想当然,左右极限同样存在 \(\text {DNE}\) 的情况,举个栗子: \(g(x)=\sin(\frac{1}{\pi x})\),众所周知 \(\sin (k\pi)=0,k\in \mathbb{Z}\),所以其零点位于 \(x=1,\frac12,\frac13,\ldots\),当这个值接近于 \(0\) 时,其会十分密集,所以其图像会在接近于零是上蹿下跳,所以 \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} g(x) \ \text{DNE}\)。
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