行列式与高斯消元基础

本文主要是介绍行列式与高斯消元基础，对大家解决编程问题具有一定的参考价值，需要的程序猿们随着小编来一起学习吧！

一、二元线性方程与二阶行列式

（一）二元线性方程的解

设有方程：

　　　　

 

可看出$x_1,x_2$的分母相同，由$x$的四个系数组成

而两数分子由三对系数组合构成

（二）行列式

引进一个符号表示“四个数分成两对相乘再相减”

其中，$a_{ij}(i = 1,2 ; j = 1,2)$称为行列式中的元素，且：

　　i 为行标，表明元素位于第i 行；

　　j 为列标，表明元素位于第j 列

 

   

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  二、排列与逆序

（一）排列

　　对于$n$个不同的元素，共有$n !$种排列方式，叫做$n$个元素的全排列，用$P_n$表示

　　而大部分的排列都不是“顺序”（只有一个，为$“1 2 3 \cdot\cdot\cdot (n-1) n”$）

　　而是逆序

（二）逆序

定义

　　1. n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.

   　2. 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，

　　　就称这两个元素组成一个逆序（可理解为逆序对）

      3. 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.

 排列$i_1 i_2 \cdot\cdot\cdot i_n$的逆序数通常记为$t(i_1 i_2 \cdot\cdot\cdot i_n)$

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 三、n阶行列式的定义

（一）三阶行列式

 

  

并将其简记作$D = det(a_{ij})$，其中$a_{ij}$为行列式$D$的$(i,j)$元

其中，$\sum_{p1p2p3}$表示对$1,2,3$的所有排列求和

二阶行列式也有类似性质，下面将行列式推广到一般情形

（二）$n$阶行列式

  其中：

　　1.$n$阶行列式有$n !$项

　　2. 每一项都是位于不同行不同列的$n$个元素的乘积（类似于数独）

 　 

　　例：写出四阶行列式中含有因子$a_11 a_23$的项

因为下标的第一项按照1,2,3,4排列，第二项是1,2,3,4的任一排列
故答案为a_11 a_23 a_32 a_44
         或a_11 a_23 a_34 a_42

上面例题的答案

 

 （四）特殊行列式的计算

　　对于四阶行列式中：

   　（1） D1 = $a_11a_22a_33a_44$

　　（2） D2 = $a_14a_23a_32a_41$（$t(4 3 2 1) = \frac{3 \times 4}{2} = 6$故取正号）

　　（3） D3 = $a_11a_22a_33a_44$（其它项数全是$0$）

　　（4） D4 = $a_11a_22a_33a_44$（其它项数全是$0$）

故对于任意$n$阶行列式：

　　对角行列式：

 

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  四、行列式的性质

所有对行列式中的行成立的性质对列同样成立

　　 性质1：行列式与其转置行列式数值相等，即$D = det(a_{ij}) = D^T = det(a_{ji})$

 

   可理解为将$D$与$D^T$沿$y = -x$对称

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　　性质2：互换行列式中的两行（列），行列式变号

 

  其中$r,c$分别表示“行，列”

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　　性质3：行列式中的某一行（列）中所有元素同乘一个倍数$k$，等于用$k$乘以行列式

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 　　性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式值为$0$

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 　　性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可以将其写作两个行列式的和

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　　性质6：把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以相同的倍数再加到另一个行（列）的对应元素上，行列式数值不变

 

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  小结

  

 

 

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五、高斯消元

　　高斯消元就是利用行列式的性质将一个行列式消成一个上三角（或下三角）的特殊行列式

  

最后就是计算这个上三角的行列式数值即可，即计算其对角线的乘积

 

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