PHY5. 突然想学数学物理

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最近看超对称看得快变成魔怔人了。主要在下面几个书里面来回横跳：
Mathematical Gauge Theory (Hamilton)
Introduction to Supersymmetry (Harald J. W. Muller-Kirsten, Armin Wiedemann)
Supersymmetric Quantum Mechanics (David Tong)
以及各种知乎文章……
为什么会开始看超对称呢？原因正是之前看量子场论学重整化学得很痛苦（为了偷懒我没去亲自算过任何圈图而是企图通过文字和逻辑去理解，而后越来越感到吃力和空虚……），于是就想着找一些比较“纯真”的书看看。超对称本就是我很想了解的内容，其一它反映了一种新的不易被察觉的对称性，通过将Lie代数扩张为Lie超代数来进行描述；其二，自1974年第一个可重整化的超对称场论模型——Wess-Zumino 模型诞生以后，超对称在弦论中大显身手，超弦理论问世，弦论纳入了费米子。这一系列理论成果想必是相当精彩的。想要了解这些最曲高和寡的理论结果，就必须了解数学物理，而某种意义上看，数学物理确实比其他的物理学科——诸如凝聚态物理、粒子物理、宇宙学——要“纯真”很多。这里纯真并不包含天真的意思在里面，而是这一研究对象看起来确实非常的“干净”——你只需要去关注这些物理模型的数学结构本身，而无需去注意物理理论与实验可观测量之间的过渡，无需去在意模型在何种程度上是正确的，做了哪些假设和近似…… 我想，也正是因为其“纯真”，而导致了数学物理这一门学科在逻辑与想象层面的深度之高，以及它带来的关于数学结构之美的想象如此吸引人。

很多数学结构在数学家的眼里和在物理学家的眼里其实完全是两种样貌。好吧，其实我也不太清楚、或是无法描述数学家们眼中的这些数学结构究竟是怎样的，他们对抽象结构的洞察能力简直无人能及。但我可以来阐述一下物理学家眼中的这些数学结构。物理学家们喜欢把那些公理体系中所描述的那些一般化的数学结构联想到一些特殊的具体的对象，并切实地对应到一些对称性变换、或是一些遥远而显著的相似性上。谈到群，其实物理学家们特别关心的是李群（不过在另一些学科中，比如固体物理，他们也会关心点群和空间群），一个单连通的李群描述了理论的一些连续对称性，而如果包含一些分立的对称性，则可以对应于多个连通李群的分支。物理学家又是怎样去想象李群的呢？一种是研究系统的一些无穷小对称变换，也就是李代数；所以它们特别关心李代数。结构常数在物理学家眼中描述了各个生成元的关系，使得我们充分地了解这一结构；Casimir 算符在物理学家的眼中是那些对称变换下不变的守恒量，例如庞加莱群的 Casimir 算符就对应于粒子的哈密顿量和自旋。为了能够做具体计算，物理学家们还特别关心这些李代数的矩阵表示。某种意义上讲，物理学家们对李群的研究正是多亏了他们对矩阵群的熟悉，所以谈到洛伦兹群时他们能立刻联想到保闵可夫斯基时空度规的伪正交群。数学结构的内蕴同样也赋予了理论家对物理对象的更深刻的想象。例如谈到纤维丛，物理学家们会想象一个微分流形作为底空间，其上的每一点都“长出”了一个纤维，就像梳子一样。具体到规范场论里面，纤维便成了规范群，纤维丛的一个截面就对应于选取一个规范，而主丛上的联络、曲率这一几何直观使得物理学家们对规范场、场强的理解得到升华。这正是数学之于物理的魅力。

数学结构在物理中的显现有时是出乎意料的，也是莫名其妙的。Grassmann 数便是其中一例，费米子场的场算符之间满足反对易关系，它们在路径积分中被当作是 Grassmann 数来处理，并且可以类比为外代数中的一形式，这是非常出人意料的。不过也许，宇宙就算隐藏了再奇妙的定律，也无非是复杂的而不是神秘的。可以说这是推动我想学数学物理的最大的因素之一。自从接触到费米子场算符以后，一切都开始变得不对劲：场论于我而言变得诡怪，粒子开始变得捉摸不透。这一切神秘感来源于对其背后数学结构的陌生。尽管将玻色子场算符和费米子场算符放到一块儿写出方程，确实说得通，但总感觉哪里不太自然…… 到了开始学超对称以后，这份陌生感被放得更大了。也许这份不自然感确实来自于玻色算符和费米算符间的另一层对称性，但伴随它的却是数学结构的复杂化…… 当然，我在最开头列的那三本书已经详细到不能再详细了，但仍抵消不掉我的困惑，反而为我展现了数学物理的庞大世界的冰山一角。我感到那座名为真理的高楼离我愈来愈远了，剩下的只是对自己的无知和无力的恼怒。

突然就想学数学物理了。想要试试自己的极限，看看自己能在这条路上走多远。

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