至少要几个砝码，可以称出 1g ~ 40g 重量

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1. 问题描述

给定一台天平，至少要几个砝码，可以称出 1g ~ 40g 这 40 个重量？

这个问题等同于 “德·梅齐利亚克砝码”问题：一位商人有一个 40 磅的砝码，由于跌落在地而碎成4 块。后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这 4 块来称从 1 ~ 40 磅之间的任意整数磅的重物。（引用自法国数学家 G.B.德·梅齐里亚克）问这 4 块砝码碎片各重多少？

2.解题关键

砝码的和与差： 假设有 m 和 n 两个砝码（m > n），除了可以称出 m + n 的重量外，还可以称出 m - n 的重量。

3. 题解

令 $A_x$ 表示第 $x$ 块砝码的重量。

• 第 1 块砝码 $A_1$：为了称取重量 1g ，必须拥有一枚重量为 1g 的砝码，即 $A_1$ = 1。目前可以称 {1, 2, 3}。
• 第 2 块砝码 $A_2$：砝码组 $[1,A2]$，可以称出 $\{1,A_2-1,A_2,A_2+1\}$。为了称取重量 2g，显然有 $A_2$ - 1 = 2，即 $A_2$ = 3。目前可以称 {1, 2, 3, 4}。
• 第 3 块砝码 $A_3$：砝码组 $[1,3,A3]$，可以称出 $\{1,2,3,4,A_3-4,A_3-3,A_3-2,A_3-1,A_3,A_3+1,A_3+2,A_3+3,A_3+4\}$。为了称取重量 5g，显然有 $A_3$ - 4 = 5，即 $A_3$ = 9。目前可以称 {1, 2, 3, 4, …, 13}。
• 第 4 块砝码：同理，第 4 块砝码 $A_4$ = 27，可以称出 $\{1,2,3,4,...,40\}$。总共需要 4 个砝码。