「学习笔记」概率与期望

本文主要是介绍「学习笔记」概率与期望，对大家解决编程问题具有一定的参考价值，需要的程序猿们随着小编来一起学习吧！

样本点与样本空间

\(A = \left \{ 1, 2, 3 \right \}\)
\(1, 2, 3\) 为样本点，\(A\) 为样本空间。

概率

概率为样本空间的每一个时间定义一个实数，这个实数称为概率。事件 \(A\) 的概率称为 \(P \left ( A \right )\)。

一个事件的概率等于事件中每个样本点的概率之和。

条件概率

\(P \left (A| B \right )\)：\(B\) 发生的情况下 \(A\) 发生的概率。

\(P\left ( A|B \right ) = \dfrac{P(AB)}{P(B)} \Rightarrow P \left ( A | B \right ) P \left ( B \right ) = P \left ( A \cdot B \right )\)

独立事件

如果事件 \(A, B\) 满足 \(P \left( A \right) P \left ( B \right ) = P \left (A \cdot B \right)\)，则称事件 \(A\) 与事件 \(B\) 为相互独立事件。
证明：

\(P \left ( A \right ) = P \left ( A | B \right )\)，说明事件 \(A\) 是否发生与事件 \(B\) 是否发生无关，因此事件 \(A\) 与事件 \(B\) 相互独立。
生活中的相互独立事件：扔两次骰子。

期望

每种情况的权值与概率的乘积的和称为期望。

有 \(10\) 个测试点，\(50 \%\) 概率答案是 YES，\(50 \%\) 概率答案是 NO，现在，程序为 cout << "YES";，问最后的期望。

期望的和等于和的期望。

解：

数学题

假设有 \(3\) 张形状相同的卡片，其中一张两面都是黑色，一张两面都是红色，另一张是一张红一张黑，随机取出一张放在桌面上，朝上的面为红色，那么另一面是黑色的概率是多少？

\(n\) 个人按一顺序一次抓阄，每个人抓完阄后立即打开，当某个人抓到“中”时，整个抓阄过程结束（后面的人就不必再抓了），问这种抓阄方式是否公平，请说明理由。

公平；
第一个人抓到“中”的概率：\(\dfrac{1}{n}\)；
第二个人抓到“中”的概率：\(\dfrac{n-1}{n} \times \dfrac{1}{n - 1} = \dfrac{1}{n}\)
第三个人抓到“中”的概率：\(\dfrac{n-1}{n} \cdot \dfrac{n-2}{n-1} \cdot \dfrac{1}{n - 2} = \dfrac{1}{n}\)
依此类推，每个人抓到“中”的概率都为 \(\dfrac{1}{n}\)，所以，游戏是公平的。

设男女两性人口之比为 \(51:49\)，有设男人色盲率为 \(2\%\)，女人色盲率为 \(0.25\%\)，先随机抽到一个人为色盲，问“该人为男人”的概率是多少？

一个人左右口袋各放一盒火柴，每盒 \(n\) 支，每次抽烟时随机选一盒拿出一支用掉，由于习惯的问题，选右面口袋的概率是 \(p > \dfrac{1}{2}\)。到某次他发现取出的这一盒已经空了，求这时另一盒恰有 \(m\) 支火柴的概率。

• 当左边的盒子空了

为什么是 \(n + 1\) 次呢？
很简单，他再取一次才发现空了的。
\((1 - p) ^ {n + 1} p ^{n - m}\)
这 \(2n + 1 - m\) 次，最后一次一定是左边。
即在 \(2n - m\) 个位置中找 \(n\) 个位置填上“左”,\(C(2n - m, n)\)，
\(P = (1 - p)^{n + 1}p^{n - m} \cdot C(2n - m, n)\)。

• 当右边的盒子空了

\((1 - p) ^ {n - m} p ^{n + 1}\)
这 \(2n + 1 - m\) 次，最后一次一定是右边。
即在 \(2n - m\) 个位置中找 \(n\) 个位置填上“右”,\(C(2n - m, n)\)，
\(P = (1 - p)^{n - m}p^{n + 1} \cdot C(2n - m, n)\)。

在小葱和小泽面前有三瓶药，其中有两瓶是毒药，每个人必须喝一瓶
小葱和小泽各自选了一瓶药，小泽手速比较快将要喝了下去，然后挂了。
小葱想活下去，他应该喝掉手上的这瓶，还是换一瓶。

我们假设 \(1\) 是好药，\(2, 3\) 是毒药。

\(P(好|挂) = \dfrac{P(好,挂)}{P(挂)} = \dfrac{\frac{2}{6}}{\frac{4}{6}} = \dfrac{1}{2}\)
这个问题与三门问题不一样的地方在于：主持人知道每扇门后的情况，而小泽不知道那瓶药是毒药，因此有了不同的结果。

小胡站在原点，手里拿着两枚硬币。抛第一枚硬币正面向上的概率为 \(p\)，第二枚正面向上的概率为 \(q\)。
小胡开始抛第一枚硬币，每次抛到反面小胡就向 \(x\) 轴正方向走一步，直到抛到正面。
接下来小胡继续抛第一枚硬币，每次抛到反面小胡就向 \(y\) 轴正方向走一步，直到抛到正面。
现在小胡想回来了，于是他开始抛第二枚硬币，如果小胡抛到正面小胡就向 \(x\) 轴的负方向走一步，否则小胡就向 \(y\) 轴的负方向走一步。
现在小胡想知道他在往回走的时候经过原点的概率是多少呢？

设最右上角的点为 \((x, y)\)。

• 阶段一
  从 \((0, 0)\) 到 \((x, 0)\) ，需要走 \(x\) 次反面，再抛一次正面。
  \(P = (1 - p)^{x} \cdot p\)
• 阶段二
  从 \((x, 0)\) 走到 \((x, y)\)，需要抛 \(y\) 次反面，再抛一次正面。
  \(P = (1 - p)^y \cdot p\)
• 阶段三
  走回来，要抛 \(x\) 次正面，\(y\) 次反面。
  \(P = q^x \cdot (1 - q)^y \cdot C(x + y, x)\)

令 \(t = x + y\)，则

等比数列求和

检验矩阵 \(A \cdot B = C\) 是否成立。\((N \le 1000)\)

随机若干个位置 \((i, j)\)，如果 \(\sum_{k = 1}^n A(i, k) \cdot B(k, j) \ne C(i, j)\)，那么一定不成立。

能随机中的概率为 \(\dfrac{1}{10^6}\)

随即若干个矩阵 \(D\)，多次判断 \(A \cdot B \cdot D = C \cdot D\)

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