康托の复习笔记
2021/4/18 18:28:38
本文主要是介绍康托の复习笔记,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!
概念
摘自百度百科。
康托展开是一个全排列到一个自然数的双射,常用于构建哈希表时的空间压缩。康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序,因此是可逆的。
康托展开
逐位计算,考虑一个排列 \(1\sim i-1\) 位已经确定的贡献。如果 \(i\) 位置填了比 \(a_i\) 小的数,\(i+1\sim n\) 无论怎么填都是小的。所以可以得出计算公式:
\[\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=i+1}^n a_j<a_i\right)\times(n-i)!+1 \]中间那个东西可以用树状数组维护。
逆康托展开
观察到 \(\left(\sum_{j=i+1}^n a_j<a_i\right)<n-i\),这也恰恰说明逆展开是唯一的。
对于每一位都可以计算出后面小于当前位的数量,因为一些数在之前已经用过了,所以要在树状数组上二分。
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