[原创]安培(Ampere's Law )定律的数学描述

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截图来自于Optics 第5版，作者是Eugene Hecht       

安培定律，Ampere's Law,如图3.9所示，对于一个通电的线，假设有一个环绕电线且垂直于电线的环，环的中心点在电线上，环的半径为r，电线周围由环绕电线的磁场，$ \vec{B} $沿着环的积分等于环内的总电流乘以一个常量$  \mu _{0} $

假如电流在横截面上不是一个均匀的电流，那么用电流密度或者说单位面积的电流$  \vec{J} $在横截面上的积分来求通过某个横截面的电流，如下式3-10

式3-10中的$  \mu _{0} $，是一个常数，汉语翻译为真空磁导率，或者说导磁率啦，对于不同的材料该常数不同，等于真空磁导率乘以一个系数K_M

但是当对电容充电时，按照电流的定义，电容的两个平板之间并没有电流产生，但还是会有磁场产生。对于电容的两个平板之间的空间，式3.10没有办法计算，因为电容的平板中间没有电流在流动

 对于电容，假设A是一边平板的面积，Q是一边平板的电量，那么电容的电场强度为$ E=\frac{Q}{\varepsilon A} $。在对电容充电的过程中，Q随着时间变化而变化，对应的E也是随着时间变化而变化，那么$  \frac{\partial E}{\partial t}={\frac{\partial Q}{\partial t}}\frac{1}{{\varepsilon A}} $，而电荷随着时间的变化等于电流$ {\frac{\partial Q}{\partial t}}=i $，将$  \varepsilon  $移动到式子左边，那么得到下图中$  \varepsilon \frac{\partial E}{\partial t}=\frac{i}{A} $的式子，式子右侧恰好符合电流密度的定义，所以电流密度可以用式子左侧来描述。只是此时描述的电流密度是等价意义上的电流密度，而不是电流真的流过，英文是displacement current density，中文翻译为位移电流，感觉翻译的不是很好。用符号$  \vec{J}_{D} $来表示

 所以安培定律的表达式可以写成如下形式，电磁场沿着某个线的积分，等于这条闭合线所围成的面积中通过的电流密度和等价电流密度对整个面积的积分（积分的结果就是这条闭合曲线所围成的面积内的电流强度）乘以一个系数$  \mu  $

当没有实际的电流流过时，$ \vec{J} $为0，3.13就变成了下方截图中的3.15

当3,15式子左侧，曲线C越来越小越来越小，那么式子两边都除以曲线c所包围的面积，恰好是旋度curl的定义，旋转是以右手定则中四指指向$  \vec{l} $的方向，大拇指指向的方向为轴，积分的值即为旋度curl的大小，或者说旋转速度的快慢。这就是安培定律的微分形式。

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