【读书笔记】排列研究-线性顺序
2021/6/6 10:31:12
本文主要是介绍【读书笔记】排列研究-线性顺序,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!
upd 2020-08-09 19:53 完成最初稿
- descent和ascent定义
- 开胃菜
- 欧拉数$A(n,k)$的递归方程
- 欧拉数相关的其他方程
- 欧拉数的显式方程Explicit formula
-
插曲
- 斯特林数和欧拉数
- (无符号)第二类斯特林数的显式方程
-
欧拉数和生成函数
- 欧拉多项式的定义
- 欧拉多项式的显式方程
- 研究欧拉数-a master GF
-
观察欧拉数金字塔研究性质
- 欧拉数金字塔长这样
- 给出一些实序列的property的定义
- 欧拉多项式的所有根都是实的
吐个槽,
一个排列的reverse是说\(p^r=p_np_{n-1}...p_1\)
一个排列的inverse是说圆分解,每个圆都反向
descent和ascent定义
在一个排列\(p\)中,
我们说下标\(i\)是一个descent如果\(p_i>p_{i+1}\)
我们说下标\(i\)是一个ascent如果\(p_i<p_{i+1}\)
我们说排列在下标\(i\) changes direction 如果\(p_{i-1}<p_i>p_{i+1}\)(\(p_i\)是peak)或者\(p_{i-1}>p_i<p_{i+1}\)(\(p_i\)是valley)
下标\(i\)是一个excedance如果\(p_i>i\)
descent构成的位置集叫做 the descent set of \(p\), 记作\(D(p)\)
\(D(p)\)的大小记作\(d(p)\)或者\(des(p)\)
欧拉数\(A(n,k)\)表示the number of n-permutations with k-1 descents
欧拉数\(A(n,k)\)也表示the number of n-permutations with k-1 excedance
\(G(n,k)\)表示【\(k\)个alternating runs的n-permutaiton】的数量
排列被\(k-1\)个下降位分隔为\(k\)个ascending runs,举例,The three ascending runs of p=2415367 are 24, 15, and 367.
排列有\(k\)个alternating runs,在\(k-1\)个位置changes direciton ,散点图上看就是,\(k\)段折线,举例,Permutation 3561247 has three alternating runs,6是peak,1是valley
开胃菜
排旗公式,不解释
这种求和形式让人想到容斥原理
欧拉数\(A(n,k)\)的递归方程
upd 2021-04-04 今天检查发现好像写错了,可以看oeis给的递推方程
对所有满足\(k\leq n\)的正整数\(k\)和\(n\)
\[A(n, k+1)=(k+2) A(n-1, k+1)+(n-k-1) A(n-1, k) \]给个证明
考虑从(n-1)-排列到k+1个descent的n-排列的转移,考虑\(n\)插入的位置
如果\(n\)插在最后或者插在【descent和descent后一位之间】,那么descent数目不变,那么要求转移前的(n-1)-排列有\(k+1\)个descent。
有\(k+1+(1)=k+2\)个选择,解释了右手边第一项如果\(n\)插在其他位置,那么descent数目+1,那么要求转移前的(n-1)-排列有\(k\)个descent。
有\((n)-(k+1)=n-k-1\)个选择,解释了右手边第二项
吐个槽,这里书里给的方程错了,证明思路是对的
欧拉数相关的其他方程
欧拉数的显式方程Explicit formula
插曲
斯特林数和欧拉数
嗯其实挺像的
欧拉数是把\([n]\)分成\(k\)个排列,每个排列都是上升的
第二类斯特林数\(S(n,r)\)是把\([n]\)分成\(r\)个集合
第一类斯特林数是把\([n]\)分成\(k\)个圆排列
它们之间联系的方程不要太多,没记错的话《具体数学》里有,这里不放了
(无符号)第二类斯特林数的显式方程
\[S(n, r)=\frac{1}{r !} \sum_{i=0}^{r}(-1)^{i}\left(\begin{array}{c} r \\ i \end{array}\right)(r-i)^{n} \]欧拉数和生成函数
欧拉多项式的定义
对所有的非负整数\(n\),多项式
\[A_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} A(n, k) x^{k} \]is called the nth Eulerian polynomial.
欧拉多项式的显式方程
举例
\[A_{1}(x)=(1-x)^{2} \sum_{i>0} i x^{i}=(1-x)^{2} \cdot \frac{x}{(1-x)^{2}}=x \] \[A_{2}(x)=(1-x)^{3} \sum_{i>0} i^{2} x^{i}=(1-x)^{3} \cdot\left(\frac{2 x^{2}}{(1-x)^{3}}+\frac{x}{(1-x)^{2}}\right)=x+x^{2} \]研究欧拉数-a master GF
\[\begin{array}{c} \text {Let } r(x, u)=\sum_{n \geq 0} \sum_{k \geq 0} A(n, k) x^{k} \frac{u^{n}}{n !} . \text { Then we have} \\ r(x, u)=\frac{1-t}{1-t e^{u(1-t)}} \end{array} \]。。。二重求和的时候把\(x\)和\(u\)当成形式变量
观察欧拉数金字塔研究性质
欧拉数金字塔长这样
给出一些实序列的property的定义
unimodal是说the sequence of positive real numbers \(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\) is unimodal if there exists an index \(k\) such that \(1 \leq k \leq n,\) and \(a_{1} \leq a_{2} \cdots \leq a_{k} \geq a_{k+1} \geq a_{n}\)
log-concave是说the sequence of positive real numbers \(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\) is \(\log\) concave if $ a_{k-1} a_{k+1} \leq a_{k}^{2}$ holds for all indices \(k\).
log-concave==>unimodal
一个正实数序列has real roots only (real zeros only) <==> \(\sum\limits_{i=1}^{n}a_ix^i\)只有实根
牛顿的定理:has real roots only=>log-concave
has real roots only=>序列要么有1个要么有2个最大值
欧拉多项式的所有根都是实的
\(A_{n}(x)=\sum\limits_{k=1}^{n} A(n, k) x^{k}\)的所有根都是实的
暂时写到这
资料来自网络
书用的是Combinatorics of permutations by Miklos Bona
这篇关于【读书笔记】排列研究-线性顺序的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对大家有所帮助,也希望大家多多支持为之网!
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