快乐的一天从AC开始 | 20210726 | P1625

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题目链接

（补20210722）

靠着舍友救济的泡面活过了台风天叫不到夜宵的晚上

明天似乎还得去公司上班，希望明早能够打得到车

心路历程

高中数学+高精度

思路

有两种做法。

第一种就是把式子化成阶乘的式子，然后分子分母同乘以\((n + m - 1)!\)，之后就是一个大分母，然后分子是多个大整数整数相加，且相邻两项可以通过分子和分母分别乘以某个数得到。然后就是高精度了。

第二种就是利用裂项得到

\[\begin{aligned} \frac{1}{\prod_{j = i}^{i + m - 1} j} &= \frac{1}{i(i+1)\cdots(i + m -1)} \\ &= (m - 1)(\frac{1}{i(i+1)\cdots (i + m - 2)} - \frac{1}{(i+1)(i+2)\cdots (i + m - 1)})\\ &= (m - 1)(\frac{1}{\prod_{j = i}^{i + m - 2}j} - \frac{1}{\prod_{j = i + 1}^{i + m - 1}j}) \end{aligned} \]

然后相消得到

\[S = (m - 1)(\frac{1}{\prod_{j = 1}^{m - 1}} - \frac{1}{\prod_{j = n + 1}^{n + m - 1}}) \]

然后也就是高精度了。

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