浅谈gamma函数
2021/9/17 23:05:34
本文主要是介绍浅谈gamma函数,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!
我们尝试将阶乘函数从整数域拓展到实数域,这时就需要一些手段来构造一个函数\(f(x)\)满足对于\(\forall x\in N,f(x)=x!\)
\[\frac{1}{1-x}=\sum_{i=0}^\infty x^i\\ \]这是易得的,考虑换种方式表现:
\[\int_{0}^{+\infty}e^{nt}dt\\=\int_{0}^{+\infty}e^xd\frac{x}{n}\\=\frac{1}{n}\int_{0}^{+\infty}e^xdx\\=\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{e^{nt}-1}{n} \]当\(n\leq 0\)时,原式收敛于\(-\frac{1}{n}\)
是的,我们考虑用这东西来表示\(\frac{1}{1-x}\)
\[\frac{1}{1-x}=\int_{0}^{+\infty}e^{-t(1-x)}dt\\=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}e^{xt}dt\\=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{(xt)^i}{i!}dt\\=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{\int_{0}^{+\infty}e^{-t}t^idt}{i!}x^i \]对照最开头的式子,有没有发现什么?
所以我们得到了:
\[n!=\int_{0}^{+\infty}e^{-x}x^ndx \]也就是欧拉在\(\Large 22\)岁时想出的做法(而这个问题是哥德巴赫在\(\tiny 38\)岁时向伯努利请教的,碰巧欧拉和伯努利当时在一起。。。)
他所定义的\(\Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}t^{x-1}dt=(x-1)!\)
(为什么不直接定义成\(x!\)呢?)
至于应用,之后找时间再填坑吧
\(\tt Upd:2021.9.17\)
我们可以用\(\Gamma\)函数化简级数
\[\begin{aligned} &\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^i}\\ =&\sum_{i=1}^\infty\frac{\Gamma(i)}{i^i*(i-1)!}\\ =&\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^i(i-1)!}\int_{0}^{+\infty}(\frac{t}{i})^{i-1}e^{-t}dt\\ =&\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{(i-1)!}\int_{0}^{+\infty}t^{i-1}e^{-it}dt\\ =&\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{(i-1)!}\int_{0}^{1}(-\ln u)^{i-1}u^id(-\ln u)\\ =&\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{(i-1)!}\int_{0}^{1}(-\ln u)^{i-1}u^{i-1}du\\ =&\int_0^{1}\sum_{i=1}^\infty\frac{(-u\ln u)^{i-1}}{(i-1)!}du\\ =&\int_0^1\exp(-u\ln u)du\\ =&\int_0^1u^{-u}du \end{aligned} \]回代就自己回代吧
倒数第3步用了勒贝格控制收敛定理
(如果出锅我也懒得修了
这篇关于浅谈gamma函数的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对大家有所帮助,也希望大家多多支持为之网!
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