机器学习笔记————人工神经网络（1）————感知器算法

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感知器是人工神经网络中的一种典型结构， 它的主要的特点是结构简单，对所能解决的问题 存在着收敛算法，并能从数学上严格证明，从而对神经网络研究起了重要的推动作用。

1957年，Frank Rosenblatt 从纯数学的角度，指出能够从一些输入输出对（X，y）中通过学习算法获得权重 ω和b。
问题：给定一些输入输出对（X，y），其中 y = +1或-1，求一个函数，使：f( X ）= y

感知器算法：设定 f（X）=sign（ωTX+b），从一堆输入输出中自动学习，获得 ω 和 b。

感知器算法（Perceptron Alogorithm）

（1）随机选取 ω 和 b
（2）取一个训练样本（X,y）
（i）若 ωTX+b >=0 且 y=-1，则
ω = ω - X b = b - 1
（ii）若 ωTX+b <0 且 y=+1，则
ω = ω + X b = b + 1
（3）再取另一个（X，y），回到（2）
（4）终止条件：直到所有输入输出对都不满足（2）中（i）和（ii）之一，退出循环。

感知器算法在某些方面和 svm 有些相似，但又不是完全相同：
svm中将所有的x和y输入，基于所有的样本构造一个很大的优化问题，再去解这个优化问题。（以全局眼光进行训练）
而感知器算法思路是对于每个x和y进行测试，不断测试不断调整（以个体的角度进行训练）

从这个角度来看感知器算法更接近于我们日常生活中的习惯。

接下来我们来思考一下感知器算法针对两种情况的处理

若ωTX+b >0 且 y=-1。通过线性分类面的知识，当ωTX+b >0 时应该有 y=+1。由此可见此时的 ω 和 b 对于x不能正确的分类，于是算法进行如下处理
ω(新) = ω - X
b(新) = b -1
于是原式就有

当y小于零时，我们希望可以将ωTX+b >0向负的方向“拉一下“，于是在最后的式子中可以看到，通过减去一个（||X||2+1) 使ωTX+b 变小，并且将其向负的方向至少拉去1。

同理，当y = +1时 ，公式中的减号变为加号，最终可以得到在ωTX+b的基础上加上（||X||2+1) 来达到将其向正方向“拉”的一个作用。

于是，每当出现一次识别不准确的情况， 我们就做一个“拉一下”的操作，直到所有的样本都能够被准确分类为止。

针对感知器算法，Frank Rosenblatt同样给出了一个证明，他提出：若存在一组样本线性可分，则算法会在有限的次数内停止，即完成准确分类。（通俗来说就是“来拉”的过程是有限的）

在初步了解感知器算法后，我们需要使用严格的数学来证明其有效：

定义完成后，对算法进行重新定义，有（下面的Xi没有特指均为X的增广向量）：
输入Xi
（1）随机选取 ω
（2）挑一个Xi
若ωT Xi<0，则ω=ω+Xi
（3）回到（2），直到对所有的Xi都不成立时退出。

感知器算法收敛定理

输入{Xi} i=1-N，若线性可分，即 ∃ωopt，使得：

则利用上述感知器算法，经过有限步后，得到一个ω，使

在上述两个公式中的ωopt和ω，相同的概率非常微小，因为存在ωopt，即可以从无限个平面中找到一个ω使其满足关系式，因此满足的ω会有无限个，所以二者未必相同

下面来证明收敛定理

证明：

不失一般性：设 ||ωopt|| = 1（因为 ωopt 与 aωopt 在同一个平面，因此可以通过调整参数a使其成立）
假设第k步的ω(k) ,且有一个 Xi 使

根据感知器算法

将右式展开，得到
由感知器收敛定理，ωoptT Xi>0 和 ω(k)TXi <0,得到

一定可以有很大的a，使得下式成立

不断迭代，每次都会使ω（k+1）到 aω 的距离变小，直到趋于0

上述是一种关于定性的分析，下面介绍定量的分析

定义 β 和 γ，有

取D ，有

则至多经过D2步，ω将会收敛至 aωopt

注：只有存在Xi使得不等式小于零时，才会进行循环计算，当Xi不存在时，就会立刻退出，因此最终未必会收敛至 aωopt，而这个过程将不会超过D2步，当达到D2步时将会自动收敛至aωopt

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