基础拓扑学讲义 1.14 拓扑子空间开集族传递性

2021/12/18 6:19:28

编程Tag： 连续空间映射拓扑 CAP tau 传递性 1.14 开集族

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拓扑子空间开集族传递性

\(X\) 是拓扑空间，\(A\subset X\)，则 \(A\) 上开集族

\[\tau_A = \{U\cap A~|~U \in \tau_X\} \]

\(B\subset A\)，则 \(B\) 上开集族

\[\begin{aligned} \tau_B &= \{V\cap B~|~ V \in \tau_A\}\\ &=\{ (U\cap A)\cap B~|~U\in \tau_X\}\\ &=\{ U\cap (A\cap B)~|~U\in \tau_X\}\\&=\{ U\cap B~|~U\in \tau_X\} \end{aligned} \]

子空间的开集显然不一定是原空间的开集，但好像所有子空间拓扑都能有一样的形式，为啥这么定义啊

度量空间的子空间的子空间的子空间的...集合，也能从开球的角度来判断是不是开集，难道是为了这个吗？

连续映射在子空间的限制

\(f:X\to Y\) 是连续映射，\(A\subset X\)，那么 \(f_A:A\to Y\) 是连续映射吗？

这取决于 \(A\)

设包含映射 \(i: A\to X\)，那么 \(f_A = f\circ i\)

显然，只需要 \(i\) 是连续的，那么 \(f_A\) 就是连续的

包含映射 \(i\) 是连续的，因为 \(i^{-1}(U) = U\cap A\)

\(i\) 不连续，\(f_A\) 是否一定不连续？
\(f_A^{-1} = i^{-1}\circ f^{-1}\) ?

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