指数型生成函数小记
2021/12/19 23:28:40
本文主要是介绍指数型生成函数小记,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!
面对“$n$ 个数中选 $k$ 个数”之类的问题,脑子里第一个想到指数型生成函数。
重要技巧:进行一个游戏,进行的期望次数=Σ(进行 i 次还没有停止的概率)。
证明:阿贝尔变换即可。
于是就可以设 $P(i)$ 为进行 $i$ 次的概率,令 $F(z)=\sum\limits_{i \geq 0} P(i)z^i$,则答案为 $F(z)$ 的系数和。
特别地,对于指数型生成函数,求的就是 $F(z)=\sum\limits_{i \geq 0} P(i)\frac{z^i}{i!}$ 的系数和。
然后就是利用 $e^z=\sum\limits_{i \geq 0} \frac{z^i}{i!}$ 无限转有限,即 $\sum\limits_{i \geq k} \frac{z^i}{i!}=e^z-\sum\limits_{i=0}^{k-1} \frac{z^i}{i!}$
然后多项式乘法,得到 $F(z)=\sum\limits_{i=0}{k-1} G(z)e^{i/k}$,其中 $G(z)$ 是关于 $z$ 的多项式。
拆出来,即求一些
$$
c_j z^j \sum\limits_{i \geq 0} \frac{(pz)^i}{i!}
$$
$ = c_j \sum\limits_{i \geq 0} p^i \frac{z^{i+j}}{i!} $
$ = c_j \sum\limits_{i \geq 0} p^i \frac{z^{i+j}}{i!} $
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