指数型生成函数小记

本文主要是介绍指数型生成函数小记，对大家解决编程问题具有一定的参考价值，需要的程序猿们随着小编来一起学习吧！

面对“$n$ 个数中选 $k$ 个数”之类的问题，脑子里第一个想到指数型生成函数。

重要技巧：进行一个游戏，进行的期望次数=Σ（进行 i 次还没有停止的概率）。

证明：阿贝尔变换即可。

于是就可以设 $P(i)$ 为进行 $i$ 次的概率，令 $F(z)=\sum\limits_{i \geq 0} P(i)z^i$，则答案为 $F(z)$ 的系数和。

特别地，对于指数型生成函数，求的就是 $F(z)=\sum\limits_{i \geq 0} P(i)\frac{z^i}{i!}$ 的系数和。

然后就是利用 $e^z=\sum\limits_{i \geq 0} \frac{z^i}{i!}$ 无限转有限，即 $\sum\limits_{i \geq k} \frac{z^i}{i!}=e^z-\sum\limits_{i=0}^{k-1} \frac{z^i}{i!}$

然后多项式乘法，得到 $F(z)=\sum\limits_{i=0}{k-1} G(z)e^{i/k}$，其中 $G(z)$ 是关于 $z$ 的多项式。

拆出来，即求一些

$$

c_j z^j \sum\limits_{i \geq 0} \frac{(pz)^i}{i!}

$$

$ = c_j \sum\limits_{i \geq 0} p^i \frac{z^{i+j}}{i!} $

$ = c_j \sum\limits_{i \geq 0} p^i \frac{z^{i+j}}{i!} $

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