本文主要是介绍「机器学习算法的数学解析与Python实现」线性回归，对大家解决编程问题具有一定的参考价值，需要的程序猿们随着小编来一起学习吧！

机器学习一共有两条主线：

1. 问题
2. 模型

问题提出要求，模型给予解决。

线性回归

线性回归：用线性模型来解决回归问题。

线性回归的重点：

• 回归问题
• 线性方程
• 偏差度量
• 权重更新：优化方法

线性回归的算法原理

基本思路

机器学习的核心概念：在错误中学习。这需要两个步骤，首先知道偏离了多少，然后向减少偏差的方向调整权值。

• 偏差度量：找到目标和实际的偏差距离，用“损失函数”表示；
• 权值调整：通过“优化方法”来调整权值，使得偏差减小。

数学解析

\(\hat{y}\) 表示估计值，\(y\)表示实际值。

1.线性回归的假设函数

\[H(x) : \hat{y} = w^Tx_i + b \]

2.线性回归的损失函数

线性回归的损失函数使用L2范数来度量偏差。

\[L(x) = \| \hat{y} - y \|_2^2 \]

3.线性回归的优化方法表达式

\[\min\limits_{w,b} L(x) = \min\limits_{w,b} \| \hat{y} - y \|_2^2 \]

这个公式的含义是，通过调节参数 \(w\) 和 \(b\) ，使得损失函数的表达式 \(\| \hat{y} - y \|_2^2\) 求得最小值。

4.范数

参考：

L1和L2 详解(范数、损失函数、正则化)

范数在欧几里得空间称为欧式距离。

机器学习中最常用的是L1，L2范数。

L1范数:

\[\|x\|_1 = \sum_{i=1}^n|x_i| \]

L2范数：

\[\|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \]

L1，L2范数都可以做损失函数使用。

L1损失函数

也被称为最小绝对值偏差（LAD），绝对值损失函数（LAE）。

\[L = \sum_{i=1}^n |y - \hat{y}| \]

L2损失函数

也被称为最小平方误差（LSE）。

\[L = \sum_{i=1}^n (y - \hat{y})^2 \]

具体步骤

线性回归算法信息表

线性回归问题可分为三步解决：

1. 为假设函数初始化参数，通过初始的假设函数得到预测值；
2. 将预测值代入损失函数，计算损失值；
3. 根据损失值，利用梯度下降等优化方法，不断调整参数，使得损失值最小。

这个不断调整参数使得损失值最小的过程就是线性回归的学习过程，通常称为训练模型。

在Python中使用线性回归算法

Scikit-Learn涵盖了主流的机器学习算法，常用的几个库如下：

• linear_model，线性模型算法族库
• neighbors，最近邻算法族库
• naive_bayes，朴素贝叶斯模型算法族库
• tree，决策树模型算法族库
• svm，支持向量机模型算法族库
• neural_network，神经网络模型算法族库

在使用算法之前，先构造一个简单的数据集：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 生成数据集
x = np.linspace(-3, 3, 30)
y = 2 * x + 1

# 数据集绘图
plt.scatter(x, y)

数据点分布图如下：

因为Scikit-Learn中线性回归算法的fit方法需要传入的x和y是两组矩阵，每一行为同一样本的信息，因此需要把刚刚生成的数据进行格式转换：

# 构造成矩阵形式
x = [[i] for i in x]  # 训练集特征值
y = [[i] for i in y]  # 训练集标签值

x_ = [[1], [2]]  # 测试集特征值

Scikit-Learn对各类机器学习算法进行了良好封装，对于不同的模型算法，都只需要经过类似的简单三步就可以进行预测。

# 从sklearn中导入线性模型中的线性回归算法
from sklearn import linear_model
model = linear_model.LinearRegression()

# 训练线性回归模型
model.fit(x, y)

# 进行预测
model.predict(x_)

预测结果：

array([[3.],
       [5.]])

同时可以通过model.coef_和model.intercept_分别查看斜率和截距：

(array([[2.]]), array([1.]))

线性回归算法确实正确地学习到了目标函数 \(y=2x+1\) 的相关参数。

线性回归算法的使用场景

线性回归算法的特点

这篇关于「机器学习算法的数学解析与Python实现」线性回归的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对大家有所帮助，也希望大家多多支持为之网！