OpenGL学习随笔（三）——2022.1.24

本文主要是介绍OpenGL学习随笔（三）——2022.1.24，对大家解决编程问题具有一定的参考价值，需要的程序猿们随着小编来一起学习吧！

        通过上两回的学习，通过两个简单的程序已经对C++/OpenGL程序有了基本的了解，本次要学习了解一些与OpenGL相关的数学基础。

一、3D坐标系统

        3D空间通常用3个坐标轴X、Y、Z来表示，这三个轴可以用两种方式来布置：左手系和右手系。（大拇指指向X轴，食指指向Y轴，中指指向Z轴）。在OpenGL中，大体使用右手系。

（图源自《计算机图形学编程（使用OpenGL和C++)》作者：V.斯科特.戈登 约翰.克莱维吉 （人民邮电出版社）168页）

二、点

        3D空间中点可用（x, y, z)来表示，不过，用齐次坐标会使图形学计算得更加高效。每个点的齐次坐标有四个值，前三个值表示x, y, z，第四个值w总是非零值，通常为1。

用来存储齐次3D坐标的GLSL数据类型使vec4("vec"代表向量，同时也可以用来表示点）。GLM库包含适合在C++/OpenGL应用中创建和存储3元和4元（齐次）点的类，分别叫做vec3和vec4。

三、矩阵

        矩阵是矩形的值阵列，它的元素通常使用下标访问。第一个下标表示行号，第二个下标表示列号，下标从0开始。在3D图形计算中要用到的矩阵大多数为4阶矩阵。

        GLSL语言中的mat4数据类型用来存储4阶矩阵。同样，GLM中有mat4类用以实例化并存储4阶矩阵。

        矩阵的相关运算：

• 单位矩阵：单位矩阵对角线上的值全为1，其余值为0。任何矩阵乘以单位矩阵都不会发生变化。在GLSL中，调用构造函数glm::mate4 m(1.0f)以在变量m中生成单位矩阵。
• 矩阵的转置是通过交换矩阵的行和列完成的。GLM库和GLSL库都有转置函数，分别是glm::transpose(mate4)和transpose(mate4)。
• 矩阵加法是多个矩阵对应位置的元素相加即可。在GLSL中，+运算符在mate4上进行了重载，支持矩阵加法。
• 矩阵乘法：注意矩阵乘法不满足交换律。矩阵乘法一般可以从左向右或从右向左处理。在3D图形学中，点与矩阵相乘（从右往左）得到点。点用齐次坐标表示为列数为1的矩阵。GLSL和GLM都支持点（vec4）与矩阵相乘用*运算符。两个4阶矩阵相乘如下： 矩阵相乘也 经常叫做合并，它可以用于将一系列矩阵变换合并为一个矩阵（源自矩阵的结合律）。GLSL和GLM都支持使用重载的*运算符进行矩阵乘法。 （上图源自《计算机图形学编程（使用OpenGL和C++)》作者：V.斯科特.戈登 约翰.克莱维吉 （人民邮电出版社）173页）
• 矩阵的逆：一个4阶矩阵的逆矩阵依然是4阶矩阵，且矩阵×矩阵的逆为单位矩阵。GLSL和GLM都提供了计算矩阵的逆的函数mate4.inverse()。

四、变换矩阵

        在图形学中，矩阵通常用来进行物体的变换。如矩阵可以用来将物体从一点移动到另一点。接下来接受五个常用的变换矩阵。变换矩阵都是4阶矩阵

•     平移矩阵：用于将物体从一个位置移动到另一个位置。它包含一个单位矩阵，同时X、Y、Z的移动量在矩阵的最后一列，即A03、A13、A23  。 下图表示点（X，Y，Z，1）与平移矩阵相乘后平移到（X+Tx，Y+Ty，Z+Tz，1）。（从右往左）。GLM中有用于构建与点相乘的平移矩阵。glm::translate(x,y,z)构建平移矩阵（x,y,z)的矩阵。

 （上图源自《计算机图形学编程（使用OpenGL和C++)》作者：V.斯科特.戈登 约翰.克莱维吉 （人民邮电出版社）177页）

• 缩放矩阵：缩放矩阵用于改变物体的大小或者将点向原点相反的方向移动。缩放矩阵是由单位矩阵和位于A00,A11,A22的X，Y，Z缩放因子组成的。如下图。此外缩放还可以用来切换坐标系。从上面两个坐标系中可以看出，左手系和右手系的区别就是Z轴的方向相反。故只需要Sx =1,Sy = 1,Sz = -1即可以实现左手系和右手系的转化。GLM 有用于构建与点相乘的缩放矩阵的函数。glm::scale(x,y,z)构建缩放(x,y,z)的缩放矩阵。

 （上图源自《计算机图形学编程（使用OpenGL和C++)》作者：V.斯科特.戈登 约翰.克莱维吉 （人民邮电出版社）179页）

•     旋转矩阵：旋转会比较复杂，因为3D空间中旋转物体需要指定旋转轴和旋转的角度或弧度。旋转变化有3种，分别绕X，Y，Z轴旋转。矩阵形式如下图：   反向旋转的矩阵恰好等于其转置矩阵。   GLM中构建旋转矩阵用glm::rotate(mate4,α,x,y,z)构建绕X，Y，Z轴旋转α度的旋转矩阵。

 （上图源自《计算机图形学编程（使用OpenGL和C++)》作者：V.斯科特.戈登 约翰.克莱维吉 （人民邮电出版社）179页）

• 投影矩阵
• LookAt矩阵

 这两个矩阵还需要其他的一些内容，将在下篇中进行介绍。

五、向量

        向量表示大小和方向。向量没有特定的位置。移动向量并不改变它所代表的意义。在3D图形学中，向量一般用空间中的单个点表示，向量的大小是原点到该点的距离，方向则是原点到该点的方向。在我们的应用中，我们简单的将向量V表示为（x,y,z)，即向量的起点是原点，终点是点（x,y,z)。在GLSL和GLM中并不区分点和向量，它们所提供了vec3/vec4既能表示点又能表示向量。在GLM和GLSL中的向量操作如下：

        假设向量A(u,v,w)和B(x,y,z)

• 加减法: A+B = (u+x,v+y,w+z)。glm: vec3+vec3。GLSL: vec3+vec3。减法同理
• 归一化（变为长度为1）：glm: normalize(vec3/vec4)。GLSL:normalize(vec3/vec4)
• 点积：A·B = ux+vy+wz。glm:dot(vec3/vec4,vec3/vec4)。GLSL:dot(vec3/vec4,vec3/vec4)
• 叉积：A×B = (vz-wy,wx-uz,uy-vx)。glm:cross(vec3,vec3)。GLSL:cross(vec3,vec3)
• 求模：glm:magnitude(vec3)。 GLSL:magnitude(vec3)

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