洛谷P4458 [BJOI2018]链上二次求和

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洛谷P4458 [BJOI2018]链上二次求和

有一条长度为 \(n\) 的链（连接方式为 \(1-2-3-\cdots-n\)），第 \(i\) 个点的权值为 \(a_i\)。
有 \(m\) 个操作，分为修改和查询两类：

1. 修改：将 \(u\) 到 \(v\) 路径上所有点的权值加上 \(d\)。
2. 查询：对于所有包含 \(l\sim r\) 个点的路径计算上面的点的权值之和，再求总和，对 \(10^9+7\) 取模。

\(n\le 2\times10^5,m\le 5\times10^5\)
\(1\le u\le n,1\le v\le n,l\le r\le n\)

对于修改操作，差分一下即可 \(O(1)\) 解决。
难点在于如何处理查询。
记 \(a\) 的前缀和为 \(s\)，\(s\) 的前缀和为 \(S\)。

\[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=l}^r\sum_{j=0}^{n-i}s_{j+i}-s_j \\ &=\sum_{i=l}^rS_n-S_{i-1}-S_{n-i}\\ &=(r-l+1)S_n-\sum_{i=l-1}^{r-1}S_i-\sum_{i=n-r}^{n-l}S_i \end{aligned}\]

需要对 \(S\) 进行区间求和，因此再做一次前缀和。
令 \({SS}_x=\sum\limits_{i=1}^xS_i\)，则

\[ans=(r-l+1)({SS}_n-{SS}_{n-1})-{SS}_{r-1}+{SS}_{l-2}-{SS}_{n-l}+{SS}_{n-r-1} \]

现在的问题是如何求出 \({SS}_x\)，或者说如何用差分数组 \(d_x=a_x-a_{x-1}\) 表示 \({SS}_x\)。

\(SS\) 实际上是由 \(d\) 求 4 次前缀和得到的，所以

\[{SS}_x=\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^j\sum_{t=1}^kd_t \]

变换求和顺序

\[{SS}_x=\sum_{t=1}^xd_t\sum_{i,j,k}[t\le k\le j\le i\le x] \]

后面的求和式可以爆算一下，等于 \(\dfrac{(x+1-t)(x+2-t)(x+3-t)}6\)。

或者用组合计数的方法处理：
\(t\le k\le j\le i\le x\) 等价于 \(t\le k<j+1<i+2\le x+2\)。
求符合条件的 \(i,j,k\) 的组数，其实就是从 \(t\sim x+2\) 中选 3 个不同的整数，方案数为 \(C_{x-t+3}^3\) 。

将结果代回原式，得到

\[6SS_x=\sum_{i=1}^x(x+1-i)(x+2-i)(x+3-i)d_i \]

大力展开

\[6SS_x=(x+1)(x+2)(x+3)\mathbf{\sum_{i=1}^xd_i}-(3x^2+12x+11)\mathbf{\sum_{i=1}^xid_i} +(3x+6)\mathbf{\sum_{i=1}^xi^2d_i}-\mathbf{\sum_{i=1}^xi^3d_i}\]

用树状数组维护加粗的 4 个式子即可。

时间复杂度为 \(O(nk+mk\log n)\)，这里 \(k=4\)。

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