[数学记录]CF896D Nephren Runs a Cinema

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题意：给定 \(n=x+y+z\)，求满足以下要求的长度为 \(n\) 的序列的数目：序列由 \(x\) 个 \(1\)，\(y\) 个 \(-1\)，\(z\) 个 \(0\) 组成，序列任意前缀和非负，和在 \([l,r]\) 之间。

考虑确定 \(z\) 和序列和的方案数。

看做卡特兰数类似折线图考虑。则在不能过线的前提下要到 \((x+1,y-x)\)。

过线等价于经过 \(y=x-1\)。将经过后的路径翻折后经过 \((x+y+1,x-1)\)。方案数是 \(C_{x+y}^{x}-C_{x+y}^{x-1}\)。

\[l \leq y-x \leq r \\ x+y = n-z \\ \Rightarrow x \in \left [\frac{n-z-r}{2},\frac{n-z-l}{2} \right ] \\ \begin{aligned} S & = \sum \limits_{z=0}^{n-r} C_{n}^{z} \cdot \sum_{x=\lceil \frac{n-z-r}{2} \rceil} ^ {\lfloor \frac{n-z-l}{2} \rfloor} (C_{n-z}^{x}-C_{n-z}^{x-1}) \\ & = \sum \limits_{z=0}^{n-r} C_{n}^{z} \cdot (C_{n-z}^{\lfloor \frac{n-z-l}{2} \rfloor }-C_{n-z}^{\lceil \frac{n-z-r}{2} \rceil - 1}) \end{aligned} \]

\(\square\)

这里不保证 \(p\) 是质数。分离与膜数互质与不互质的地方并重载即可。

代码慢慢写，应该也不难写。

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