数字信号插零方式扩展的DFT

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数字信号插零方式扩展

已知序列 x ( n ) x(n) x(n)，长度为N，要通过插零方式扩展至原来的r倍，
通过数字信号插零公式：

y ( n ) = { x ( n r ) , n = i r , i = 0 ∼ N − 1 ， 0 , e l s e . \bm{y(n)=\left\{ \begin{array}{l} x(\frac{n}{r}),n=ir,i=0 \sim N-1，\\ 0,\quad \quad \quad else. \end{array} \right.} y(n)={x(rn​),n=ir,i=0∼N−1，0,else.​

举例说明：

1. 以 x ( n ) = { 1 , 2 , 3 , 4 } x(n) = \{1,2,3,4\} x(n)={1,2,3,4}为例，N=4，要扩展为原来的2倍， r = 2 ， i = 0 ∼ 3 ， n = 0 , 2 , 4 , 6 r=2，i=0\sim 3，n=0,2,4,6 r=2，i=0∼3，n=0,2,4,6，

则当 n 取 0 , 2 , 4 , 6 时 ， x ( n r ) n取0,2,4,6时，x(\frac{n}{r}) n取0,2,4,6时，x(rn​)分别等于原 x ( n ) x(n) x(n)的 x ( 0 ) x(0) x(0)， x ( 1 ) x(1) x(1) ， x ( 2 ) ，x(2) ，x(2)， x ( 3 ) x(3) x(3)的值，其余为0，

即 x ( n r ) = { 1 , 0 , 2 , 0 , 3 , 0 , 4 , 0 } x(\frac{n}{r})=\{1,0,2,0,3,0,4,0\} x(rn​)={1,0,2,0,3,0,4,0}，即通过间插方式扩展为原来的2倍。

2. 以 x ( n ) = { 1 , 2 , 3 , 4 } x(n) = \{1,2,3,4\} x(n)={1,2,3,4}为例，N=4，要扩展为原来的3倍， r = 3 ， i = 0 ∼ 3 ， n = 0 , 3 , 6 , 9 r=3，i=0\sim 3，n=0,3,6,9 r=3，i=0∼3，n=0,3,6,9，

则当 n 取 0 , 3 , 6 , 9 时 ， x ( n r ) n取0,3,6,9时，x(\frac{n}{r}) n取0,3,6,9时，x(rn​)分别等于原 x ( n ) x(n) x(n)的 x ( 0 ) x(0) x(0)， x ( 1 ) x(1) x(1) ， x ( 2 ) ，x(2) ，x(2)， x ( 3 ) x(3) x(3)的值，其余为0，

即 x ( n r ) = { 1 , 0 , 0 , 2 , 0 , 0 , 3 , 0 , 0 , 4 , 0 , 0 } x(\frac{n}{r})=\{1,0,0,2,0,0,3,0,0,4,0,0\} x(rn​)={1,0,0,2,0,0,3,0,0,4,0,0}，即通过间插方式扩展为原来的3倍。

例题：

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