BUAA_概率统计_Chap09_假设检验

2022/1/9 6:03:37

本文主要是介绍BUAA_概率统计_Chap09_假设检验,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!

第九章 假设检验

9.1 假设检验的概念

先对总体的参数或总体的分布形式作某种假设 \(H_0\),然后由抽样结果推断假设 \(H_0\) 是否成立。

在数理统计学中,称检验假设 \(H_0\) 的方法为假设检验。

  • 参数的假设检验
  • 分布的假设检验

检验假设的理论依据

实际推断原理:

小概率事件在一次试验(抽样)中是不可能发生的

9.2 正态总体均值和方差的假设检验

9.2.1 \(\sigma^2\) 已知,均值 \(\mu\) 的双边检验

1. \(\sigma^2 = \sigma_0^2\) 已知

  1. 提出假设:

\[\begin{aligned} &H_0:\mu = \mu_0(原假设)\\ &H_1:\mu \ne \mu_0(备选假设) \end{aligned} \]

  1. 在 \(H_0\) 为真时,构建检验统计量

\[U=\dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0 / \sqrt{n}} \sim N(0,1) \]

  1. 确定检验水平 \(\alpha\) 和拒绝域
    对于给定的检验水平 \(\alpha\),\(P\{|U|>z_{1-\frac{\alpha}{2}}\} = \alpha\)
    则 \(\{|U|>z_{1-\frac{\alpha}{2}}\}\),即 \(\Big\{\Big|\dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\Big|>z_{1-\frac{\alpha}{2}} \Big\}\) 是小概率事件,从而,拒绝域

\[\Big|\dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\Big|>z_{1-\frac{\alpha}{2}} \]

  1. 由样本提供的信息计算 \(u=\dfrac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\) 的值,查 \(N(0,1)\) 表得 \(z_{1-\frac{\alpha}{2}}\)
    • 若 \(|u|>z_{1-\frac{\alpha}{2}}\) 则拒绝原假设 \(H_0\)(\(H_0\) 伪),接受 \(H_1\);
    • 若 \(|u|\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\) 则接受原假设 \(H_0\)(\(H_0\) 伪)。
  2. 得出结论
假设检验过程中得两类判断错误(判断失误)
  1. 当判断 \(H_0\) 伪(拒绝 \(H_0\))时,实际情况 \(H_0\) 真——此为第一类错误(弃真)(概率小于或等于 \(\alpha\))
  2. 当判断 \(H_0\) 真(接受 \(H_0\))时,实际情况 \(H_0\) 伪——此为第二类错误(纳伪)(概率为 \(\beta\))

当样本容量 \(n\) 固定时,犯两类错误的概率大小时相互制约的,即减小其中一个,另一个往往会增大。

通常的实际做法是:设置检验水平 \(\alpha\) 来限制第一类错误(根据具体情况),再尽量减小第二类错误。(增大样本容量 \(n\))

在实际问题中,如何给定检验水平 \(\alpha\),应根据具体情况而定

  1. 拒绝一个属真的假设,即犯第一类错误后果非常严重时,应将 \(\alpha\) 取得小一些,如 \(\alpha=0.01,\alpha=0.005\) 等;
  2. 取伪会引起严重后果时,可将 \(\alpha\) 取得适当大一些,如 \(\alpha = 0.05, \alpha = 0.10\) 等。

2. \(\sigma^2\) 已知,右边检验

此时样本信息显示 \(\overline{x} > \mu_0\)

  1. 提出假设

\[\begin{aligned} &H_0:\mu = \mu_0(原假设)\\ &H_1:\mu > \mu_0(备选假设) \end{aligned} \]

  1. 构建检验统计量

\[U=\dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}} \sim N(0,1) \]

  1. 确定拒绝域

\[P\Big\{\dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}>z_{1-\alpha}\Big\} = \alpha \]

  1. 由样本提供的信息计算出 \(u=\dfrac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\)
    • 若 \(u>z_{1-\alpha}\) 则拒绝原假设(\(H_0\) 伪),接受 \(H_1\);
    • 若 \(u\leq z_{1-\alpha}\) 则接受原假设(\(H_0\) 真)
  2. 给出结论

3. \(\sigma^2\) 已知,左边检验

此时样本信息显示 \(\overline{x} < \mu_0\)

  1. 提出假设

\[\begin{aligned} &H_0:\mu = \mu_0(原假设)\\ &H_1:\mu > \mu_0(备选假设) \end{aligned} \]

  1. 构建检验统计量

\[U=\dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}} \sim N(0,1) \]

  1. 确定拒绝域

\[P\Big\{\dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0 / \sqrt{n}} <-z_{1-\alpha}\Big\}=\alpha \]

  1. 由样本提供的信息计算出 \(u=\dfrac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\)
    • 若 \(u<z_{1-\alpha}\) 则拒绝原假设(\(H_0\) 伪),接受 \(H_1\);
    • 若 \(u\geq z_{1-\alpha}\) 则接受原假设(\(H_0\) 真)
  2. 得出结论

9.2.2 \(\sigma^2\) 未知时,均值 \(\mu\) 的假设检验

1. 未知方差,均值为 \(\mu\) 的假设检验

由于 \(\sigma^2\) 未知,这时 \(U\) 已不是统计量,因此我们用 \(\sigma^2\) 的无偏估计量 \(S^2\) 来代替 \(\sigma^2\)

  1. 提出假设

\[\begin{aligned} &H_0:\mu = \mu_0(原假设)\\ &H_1:\mu \ne \mu_0(备选假设) \end{aligned} \]

  1. 构建检验统计量

\[T=\dfrac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1) \]

  1. 确定拒绝域

\[P\{|T|>t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\}=\alpha \]

从而,拒绝域 \(\Big|\dfrac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\Big|>t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\)

  1. 由样本计算出 \(T=\dfrac{\overline{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}\),然后与 \(t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\) 进行比较
  • 若 \(|T|>t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\),则拒绝假设 \(H_0\),接受 \(H_1\)
  • 若 \(|T|\leq t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\),则接受假设 \(H_0\)
  1. 得出结论

2. 未知方差 \(\sigma^2\),左边检验

事先计算出样本值 \(\overline{x}>\mu_0\)

  1. 提出假设

\[ \begin{aligned} &H_0:\mu = \mu_0(原假设)\\ &H_1:\mu > \mu_0(备选假设) \end{aligned} \]

  1. 构建检验统计量

\[T=\dfrac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1) \]

  1. 确定拒绝域

\[P\{T>t_{1-\alpha}(n-1)\}=\alpha \]

从而,拒绝域 \(\dfrac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}>t_{1-\alpha}(n-1)\)

  1. 由样本计算出 \(T=\dfrac{\overline{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}\),然后与 \(t_{1-\alpha}(n-1)\)​ 进行比较
  • 若 \(T>t_{1-\alpha}(n-1)\),则拒绝假设 \(H_0\),接受 \(H_1\)
  • 若 \(T\leq t_{1-\alpha}(n-1)\),则接受假设 \(H_0\)
  1. 得出结论

3. 未知方差 \(\sigma^2\),右边检验

事先计算出样本值 \(\overline{x}<\mu_0\)

  1. 提出假设

    \[\begin{aligned} &H_0:\mu = \mu_0(原假设)\\ &H_1:\mu < \mu_0(备选假设) \end{aligned} \]

  2. 构建检验统计量

\[T=\dfrac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1) \]

  1. 确定拒绝域

\[P\{T>t_{1-\alpha}(n-1)\}=\alpha \]

从而,拒绝域 \(\dfrac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}<t_{1-\alpha}(n-1)\)

  1. 由样本计算出 \(T=\dfrac{\overline{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}\),然后与 \(t_{1-\alpha}(n-1)\)​ 进行比较
  • 若 \(T<t_{1-\alpha}(n-1)\),则拒绝假设 \(H_0\),接受 \(H_1\)
  • 若 \(T\geq t_{1-\alpha}(n-1)\),则接受假设 \(H_0\)
  1. 得出结论

以上三种检验法均采用了 \(t\) 分布,故又名 \(t\) 检验法。

9.2.3 正态总体方差的假设检验,\(\chi^2\) 检验法

1. 双边检验

  1. 提出假设

\[\begin{aligned} H_0:\sigma^2=\sigma^2_0\\ H_1:\sigma^2\ne \sigma^2_0 \end{aligned} \]

  1. 构建检验统计量

\[\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\sim \chi^2(n-1) \]

  1. 确定拒绝域

\[P\{\chi^2>\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\}=\dfrac{\alpha}{2}\\ P\{\chi^2<\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\}=\dfrac{\alpha}{2} \]

从而拒绝域 \(\{\chi^2>\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\}\cup\{\chi^2<\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\}\)

  1. 根据样本值计算

\[\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}=\dfrac{1}{\sigma_0^2}\sum\limits^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2 \]

  • 若 \(\chi^2<\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\) 或 \(\chi^2>\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\) 则拒绝假设 \(H_0\),接受 \(H_1\)
  • 否则接受假设 \(H_0\)
  1. 得出结论

2. 左边检验

  1. 提出假设

\[\begin{aligned} H_0:\sigma^2=\sigma^2_0\\ H_1:\sigma^2 < \sigma^2_0 \end{aligned} \]

  1. 构建检验统计量

\[\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\sim \chi^2(n-1) \]

  1. 确定拒绝域

\[P\{\chi^2<\chi^2_{\alpha}(n-1)\}=\alpha \]

从而拒绝域 \(\chi^2<\chi^2_{\alpha}(n-1)\)

  1. 根据样本值计算

\[\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}=\dfrac{1}{\sigma_0^2}\sum\limits^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2 \]

  • 若 \(\chi^2<\chi^2_{\alpha}(n-1)\) 则拒绝假设 \(H_0\),接受 \(H_1\)
  • 否则接受假设 \(H_0\)
  1. 得出结论

3. 右边检验

  1. 提出假设

\[\begin{aligned} H_0:\sigma^2=\sigma^2_0\\ H_1:\sigma^2 > \sigma^2_0 \end{aligned} \]

  1. 构建检验统计量

\[\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\sim \chi^2(n-1) \]

  1. 确定拒绝域

\[P\{\chi^2>\chi^2_{1-\alpha}(n-1)\}=\alpha \]

从而拒绝域 \(\{\chi^2>\chi^2_{1-\alpha}(n-1)\}\)

  1. 根据样本值计算

\[\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}=\dfrac{1}{\sigma_0^2}\sum\limits^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2 \]

  • 若 \(\chi^2>\chi^2_{1-\alpha}(n-1)\) 则拒绝假设 \(H_0\),接受 \(H_1\)
  • 否则接受假设 \(H_0\)
  1. 得出结论


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