[高等数学]高数整理：常见等价无穷小、导数和微分、微分方程

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一、常见等价无穷小

当 \(x\rightarrow0\) 时，

\(\sin x \sim x\)

\(\tan x\sim x\)

\(\arcsin x \sim x\)

\(\arctan x \sim x\)

\(e^x-1 \sim x\), \(a^x-1 \sim x \ln a\)

\(\ln (1+x) \sim x\), \(\displaystyle\ log_{a}(1+x) \sim \frac{x}{\ln a}\)

\(\displaystyle \ln(x+\sqrt{1+x^2}) \sim x\)

\(\displaystyle (1+x)^\alpha -1 \sim \alpha x\)

\(\displaystyle \displaystyle 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2\)

\(\displaystyle \tan x-x \sim \frac{1}{3}x^3\)

\(\displaystyle x-\sin x \sim \frac{1}{6}x^3\)

\(\displaystyle \tan x - \sin x \sim \frac{1}{2}x^3\)

\(\displaystyle \arcsin x - x \sim \frac{1}{6}x^3\)

\(\displaystyle x - \arctan x \sim \frac{1}{3}x^3\)

当 \(x \rightarrow \infin\) 时，

\(\large \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow \infin}(1+ \frac{1}{x})^x=e\)， 括号内的一项趋向 0 。

二、导数 / 微分

1. 利用导数的定义：

   \(\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)

   \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)

2. 常见函数的导数

3. 双曲函数 和 反双曲函数

   	函数名	表达式
   	双曲正弦 \(\operatorname{sh}x\)	\(\operatorname{sh} x = \dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\)
   	双曲余弦 \(\operatorname{ch}x\)	\(\operatorname{ch} x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\)
   	双曲正切 \(\operatorname{th}x\)	\(\operatorname{th} x = \dfrac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)
   	反双曲正弦 \(\operatorname{arcsh}x\)	\(\displaystyle \operatorname{arcsh}x = \ln(x+\sqrt{x^2+1})\)
   1	反双曲余弦 \(\operatorname{arcch}x\)	\(\operatorname{arcch}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})\)
   	反双曲正切 \(\operatorname{arcth}x\)	\(\displaystyle \operatorname{arcth}x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}\)

三、微分方程

1. 可分离变量的微分方程 \([\mathbf{形如}： \displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f(x)]\)

   ① 分离变量后，两端积分。

   [② 根据定解条件确定常数]

2. 齐次方程 \([\mathbf{形如}：\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=φ(\frac{y}{x})]\)，

   看 \(x、y\) 次数的系数是否对称。

   ① 令 \(u = \dfrac{y}{x}\)， 则 \(y = ux\)， \(\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = u + x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}\)。

   ② 代入方程，分离变量 \(x\) 和 $u $后，两端积分。

   ③ 用 \(\dfrac{y}{x}\)代替 \(u\) 。

   [④ 根据定解条件确定常数]

3. 一阶线性微分方程 \([\mathbf{形如：} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)\cdot y=Q(x)]\)

   (1) 当 \(Q(x)=0\) 时，方程为『齐次』。 （对应于 非齐次线性方程 的齐次线性方程 ）

   ​ 齐次线性方程的通解：\(\displaystyle y = Ce^{-\int P(x)\text{d}x}\)

   (2) 当 \(Q(x)\not\equiv0\) 时，方程为『非齐次』。 （非齐次线性方程）

   ​ 非齐次线性方程的通解：\(\displaystyle y = e^{-\int P(x)\text{d}x}(\int Q(x)\cdot e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x+C)\)

   ​ 展开式：\(\displaystyle y = Ce^{-\int P(x)\text{d}x} + e^{-\int P(x)\text{d}x}\int Q(x) \cdot e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x\)

4. 伯努利方程 \([\mathbf{形如}：\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)\cdot y= Q(x)\cdot y^n,\space(n\not=0,1)]\)

   ① 两端同除以 \(y^n\)

   ② 设 \(z = y^{1-n}\)，则 \(\displaystyle \frac{\text{d}z}{\text{d}x}=(1-n)y^{-n}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\)

   ​ 代入，得 \(\dfrac{1}{1-n}\cdot \dfrac{\text{d}z}{\text{d}x} + P(x)z=Q(x)\)

   ​ \(\dfrac{\text{d}z}{\text{d}x}+(1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)\)

   ③先求 \(z\)，再求 \(y\)。

5. 可降阶的高阶微分方程

   (1) \([\mathbf{形如}：y^{(n)}=f(x)]\)

   ​ 两端积分，得 \(\displaystyle y^{(n-1)}=\int f(x)\text{d}x+C_1\)

   ​ 一直积分到 得到通解 时。

   (2) \([\mathbf{形如}：y''= f(x,y')]\)，没有 y

   ​ 设 \(p = y'\)，则 \(y''=p'\)，

   ​ 代入，得到 \(p'\) 关于 \(p\) 和 \(x\) 的方程 \(p'=f(x,p)\)

   (3) \([\mathbf{形如}：y''=f(y,y')]\)，没有 x

   ​ 设 \(p = y'\)，则 \(\displaystyle y'' = \frac{\text{d}p}{\text{d}x}=\frac{\text{d}p\space \cdot \space \text{d}y}{\text{d}x\space \cdot \space \text{d}y}=p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}\)

   ​ 代入，得到 \(p\dfrac{\text{d}p}{\text{d}y} = f(y,p)\)

   ​ 分离变量求解，之后把 \(p = y'\) 代入，

   ​ [根据已知条件求出常数之一，继续分离变量求解。根据已知，求出第二个常数]

线性相关 与 线性无关

• 定义：对于定义在区间 \(I\) 上的 n 个函数，如果下式成立则线性相关，否则无关。

二阶微分方程：判断方程是否为线性的方法

​ 若 \(y_1(x),y_2(x)\) 线性无关 \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{y_1(x)}{y_2(x)} \not\equiv\) 常数。

6. 高阶线性微分方程

• 二阶

  \[\displaystyle [\mathbf{形如：} \frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + P(x)\frac{\text{d}y}{\text{d}x} +Q(x)y=f(x)]\tag{6-1} \]

  ① 齐次：\(f(x) \equiv 0\)，设 \((6-2)\) 是 \((6-1)\) 对应的齐次方程。

  • 性质：齐次方程的任意两个解相加（或乘 \(C\) ）的结果仍是该齐次方程的解。
  • 定理 1 ：如果函数 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是方程 \((6-2)\) 的两个解，那么 函数 \(y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)\)，也是方程 \((6-2)\) 的解。
    • 注意：函数 \(y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)\) 不一定是方程 \((6-2)\) 的通解。
  • 定理 2 ：如果 函数 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是 线性无关 的特解，则函数 \(y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)\) 是方程 \((6-2)\) 的通解

  ② 非齐次：\(f(x) \not\equiv 0\)

• n 阶

  \[\displaystyle [\mathbf{形如：} y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots + a_{n-1}(x)y'+a_n y= f(x)]\tag{6-n-1} \]

  ① 齐次：

  如果 函数 \(y_1(x),y_2(x),\cdots, y_n(x)\) 是 线性无关 的特解，则函数方程 \((6-n-1)\) 的通解为：

  \(y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)+\cdots+C_n y_n(x)\)

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